Probar si un dado está sesgado, razonar sobre el enfoque

Question

Pregunta :

Un dado está marcado en una cara, y el número de veces que aparece la marca es se registra.

La marca aparece una vez de 25 tiradas, ¿el dado está sesgado?

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trabajando

$H_0 : $ El dado no está sesgado

$H_1 : $ El dado está sesgado

Para ello hay que tener en cuenta que el troquel debe seguir $\sim Bin(n, p)$ como $\sim Bin(25, \frac{1}{6})$ .

Pruebas en un $95\%$ nivel de significación que necesitamos $P(x \leq 1)$ , donde $x = $ número de rollos con la marca encima. Esto se encuentra a partir de $P(0) + P(1)$ utilizando:

\begin{aligned} P(0) = {25 \choose 0}\left( \frac{1}{6} \right)^{0}\left( 1 - \frac{1}{6} \right)^{25} \\ P(1) = {25 \choose 1}\left( \frac{1}{6} \right)^{1}\left( 1 - \frac{1}{6} \right)^{24} \\ \end{aligned}

Lo que da

\begin{aligned} P(0) \approx 0.0104 \\ P(1) \approx 0.0524 \end{aligned}

Por lo tanto, la probabilidad es $P(0) + P(1) = 0.0628 $ , ya que estamos probando en un $95\%$ nivel tenemos

$$ 0.0628 > 0.05 $$

Lo que significa que la probabilidad del resultado observado no es menor que $5\%$ y por lo tanto no rechazamos $H_0$ .

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editar

Como se ha dicho la probabilidad se ha realizado para una prueba de una cola sin embargo no he sido específico sobre si estoy usando dos o una. Así que cambiaría la hipótesis para que se lea como:

$H_0$ : El dado es justo.

$H_1$ : El dado está sesgado de tal manera que hay menos resultados del lado marcado que en el caso de un dado no sesgado.

Answer 1

Creo que la mayoría de los razonamientos son válidos. Sólo al final, observamos que la marca aparece una vez, por lo que la probabilidad de observarla es $P(1) \approx 0.0524$ . En ese momento, para calcular $P(0)+P(1)$ no tiene sentido responder a la pregunta.

La pregunta "el dado está sesgado" no está muy clara, pero se puede suponer que queremos construir un intervalo de confianza del 95% para la hipótesis, y que lo tomamos de dos lados. Esto significa que la variable aleatoria subyacente $X$ sigue la distribución $Bin(25,1/6)$ en $H0$ y queremos encontrar $x_0$ y $x_1$ tal que: $P(X \leq x_0)=0.025$ y $P(X \geq x_1)=0.025$ (intervalo de confianza de dos caras), de modo que $P(x_0 < X < x_1)=0.95$ .

Sin explicar el intervalo de confianza, podemos simplemente observar que $P(X=1)>0.05$ por lo que no puede formar parte de la cola del 5%.

Si queremos explicitar el intervalo de confianza, ya que la distribución $Bin(25,1/6)$ toma valores discretos, elegiría $x_0 = 0$ , $x_1=8$ y uno puede comprobarlo: $P(X \leq 0)=P(X=0) \approx 0.01$ , $P(X \geq 8) \approx 0.04$ .

La conclusión es la misma: no podemos rechazar la hipótesis $H0$ .

EDITAR: I parcela $P(X=x)$ aquí. Con la hipótesis de intervalo de dos caras, no rechazaré la hipótesis si $1 \leq x \leq 7$ .

[También he sustituido "simétrica" por "bifronte" en mi respuesta, porque aquí la distribución binomial no es simétrica].

EDITAR 2 : Acabo de mostrar su edición. Con esta hipótesis: "El dado está sesgado de tal manera que hay menos resultados del lado marcado que los que habría para un dado no sesgado", entonces sí, ¡tu razonamiento es correcto!

Answer 2

Te calificaría con una A, si redactaras tu hipótesis como "el dado está sesgado contra el lado marcado" porque estás probando una hipótesis de un solo lado. La redacción actual es "el dado está sesgado" permite el sesgo para el lado marcado, es decir, pide un hypo de dos lados. Para una distribución no simétrica como la binomial, el hipotético de dos lados es complicado.

La media es $np=25/6$ Entonces, ¿cómo construirías las colas aquí? Yo me quedaría con una cara y la presentaría con una redacción adecuada de la hipo