Probando $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}=-\ln(x+1)$

Question

Me cuesta entender por qué

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}=-\ln(x+1)$$ .

Comprendo cómo he llegado a

$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{(x-1)^k}{k}=\ln(x)$$

pero cuando sustituyo $x$ con $x+1$ y multiplicar $-1$ Me sale

$$-\ln(x+1)=-x+x^2/2-x^3/3+... $$

que está apagado por el signo negativo alterno. . .

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

La razón es que la afirmación de su pregunta es incorrecta.

La afirmación correcta es $$\sum_{k = 1}^\infty \frac{x^k}k = -\ln(1 - x).$$

Answer 2

Tome el IGP como $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+... +\frac{x^k}{k}+..., |x|<1.~~(1)$$ Integrar w,r,t, $x$ ambos lados, obtenemos $$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+C~~(2)$$ $C$ es la constante de integración que puede obtenerse como 0 poniendo $x=0$ en )2). Así que $C=0$ . dejar $1+x=y$ en (2), obtenemos $$\ln y=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(y-1)^k}{k}$$ Su Ec.(1), el factor $(-1)^{k-1}$ .

Answer 3

$\log (1-x)=\int_{1}^{1-x}\frac{1}{t}dt=$

$-\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}dt=-\int_{0}^{x}\sum_{i=0}^{\infty}t^i dt=$

$-\sum_{0}^{\infty}\int_{0}^{x}t^i dt=-\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{i+1}}{i+1}=$

$-\sum_{1}^{\infty}\frac{x^i}{i}.$