Resolver la ecuación de funciones inversas

Question

Tengo dos funciones diferentes $y_1=f_1(x)$ y $y_2=f_2(x)$, ambas invertibles pero bastante complejas. Soy capaz de encontrar sus funciones inversas numéricamente, es decir $f^{-1}_1(x)$ y $f^{-1}_2(x)$, resolviendo para $x_1$ y $x_2$ dos ecuaciones $$ f_1(y_1) - x_1 = 0, \\ f_2(y_2) - x_2 = 0, $$ para realizaciones específicas de $y_1$ y $y_2$. Dado que $f_1 \neq f_2$, obtengo dos soluciones diferentes para ambas ecuaciones $x_1 \neq x_2$. El problema es que me gustaría resolver la ecuación en esas funciones inversas. El objetivo es encontrar un único punto $x_0$ para $$ f^{-1}_1(x_0) - f^{-1}_2(x_0) =0 $$ ¿Es esto posible? Si sustituyo las ecuaciones inversas anteriores, asumiendo que $x_1=x_2$, en la ecuación principal obtengo $f_1(y_1)=f_2(y_2)$ lo cual es una contradicción. ¿Existe un método para resolver este problema, incluso numéricamente? Si no es posible, ¿quizás encontrar $\min |f^{-1}_1(x) - f^{-1}_2(x)|$ sería una opción?

Answer 1

Si entendí bien (lo cual no es seguro), tienes dos funciones dadas $f_1(x)$ y $f_2(x)

La función inversa de $y=f_1(x)$ es $x=f_1^{-1}(y)

La función inversa de $y=f_2(x)$ es $x=f_2^{-1}(y)

Quieres encontrar una raíz $y_0$ de la ecuación $f_1^{-1}(y)=f_2^{-1}(y)

Entonces, primero tienes que $$\text{resolver}\quad f_1(x)=f_2(x)\quad \text{para } x\quad \text{lo cual te lleva a}\quad x_0$$ Luego, sabiendo $x_0$, calcular : $$y_0=f_1(x_0)\quad \text{o}\quad =f_2(x_0)$$

$y_0$ es una raíz de $f_1^{-1}(y)=f_2^{-1}(y)

Nota que, para evitar confusiones, cambié el símbolo $x_0$ en la redacción de la pregunta por el símbolo $y_0$ pero de todas formas esto no importa: cualquier símbolo utilizado no cambia la solución.

Para una comprensión intuitiva, dibuja $y=f_1(x)$ y $y=f_2(x)$ en un gráfico. En el mismo gráfico dibuja las curvas simétricas con respecto a la línea $y=x$. Estas dos últimas curvas representan las funciones inversas. La intersección representa la raíz de la ecuación inversa. Este punto es el punto simétrico que representa la raíz de la ecuación directa. Por eso primero resolvemos la ecuación directa $f_1(x)=f_2(x)$: El punto de intersección es $(x_0\:,\:y_0)$ mientras que es $(y_0\:,\:x_0)$ en las curvas inversas.

Answer 2

Esto no siempre es posible.

Toma $f_1(x)=x$ y $f_2(x)=x+1$.

Entonces $f_1^{-1}(y)=y$ y $f_2^{-1}(y)=y-1$.

Por lo tanto, para cualquier $y_0$:

$$f_1^{-1}(y_0)-f_2^{-1}(y_0)=y_0-y_0+1=1\neq 0.$$