$P_{n+1}(x)=P'_n(x)+2nxP_n(x)$ y buscando la relación ortogonal

Question

Definamos

$$\begin{align*} \frac{dx}{du}&=e^{x^2}\\ \frac{d^2x}{du^2}&=2xe^{2x^2}\\ \frac{d^3x}{du^3}&=(2+8x^2)e^{3x^2}\\ \vdots\\ \frac{d^nx}{du^n}&=P_n(x)e^{nx^2}\\ \frac{d^{n+1}x}{du^{n+1}}&=(P'_n(x)+2nxP_n(x))e^{(n+1)x^2}\\ \frac{d^{n+1}x}{du^{n+1}}&=P_{n+1}(x)e^{(n+1)x^2}\\ \end{align*}$$

$$P_{n+1}(x)=P'_n(x)+2nxP_n(x)$$

Me gustaría encontrar la ecuación diferencial que satisfaga $P_{n}(x)$ .

Y entonces me gustaría encontrar una relación ortogonal como si fuera posible

si $m \neq n$ $$\int_a^{b} P_n(x)P_m(x)W(x)\;dx=0$$

si $m = n$ $$\int_a^{b} P^2_n(x)W(x)\;dx=a_n$$

¿Podría ayudarme con los pasos?

Gracias

Answer 1

Desde el Fórmula de Rodrigues para los polinomios de Hermite haciendo algunas sustituciones de variables se obtiene la relación

$$\exp(-z^2)\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dz^n}\exp(z^2)=i^{-n}H_n(iz)$$

Realizando las sustituciones oportunas en el Hermite DE rinde

$$w^{\prime\prime}+2zw^\prime-2nw=0$$

Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo se podría derivar una relación de ortogonalidad a partir de esto; las sustituciones no funcionan realmente para la relación de ortogonalidad habitual para los polinomios de Hermite.