¿Cuál es su prueba favorita del Teorema de Tychonoff?

Question

Aquí está la mía. Está tomada de la página 11 de "An Introduction To Abstract Harmonic Analysis", 1953, de Loomis:

https://archive.org/details/introductiontoab031610mbp

https://ia800309.us.archive.org/10/items/introductiontoab031610mbp/introductiontoab031610mbp.pdf

(Por cierto, no sé por qué este libro no es más famoso).

Para demostrar que un producto $K=\prod K_i$ de espacios compactos $K_i$ es compacto, dejemos que $\mathcal A$ sea un conjunto de subconjuntos cerrados de $K$ que tiene la propiedad de intersección finita (FIP) --- a saber la intersección de un número finito de miembros de $\mathcal A$ es no vacío ---, y mostrar $\bigcap\mathcal A\not=\varnothing$ de la siguiente manera.

Por el Teorema de Zorn, $\mathcal A$ está contenido en algún conjunto máximo $\mathcal B$ de subconjuntos (no necesariamente cerrados) de $K$ teniendo el FIP.

El $\pi_i(B)$ , $B\in\mathcal B$ teniendo el FIP y el $K_i$ siendo compacto, hay, para cada $i$ un punto $b_i$ perteneciente al cierre de $\pi_i(B)$ para todos $B$ en $\mathcal B$ , donde $\pi_i$ es el $i$ -a la proyección canónica. Basta con comprobar que $\mathcal B$ contiene los barrios de $b:=(b_i)$ . De hecho, esto implicará que los barrios de $b$ cruzar todos los $B$ en $\mathcal B$ por lo que $b$ está en el cierre de $B$ para todos $B$ en $\mathcal B$ y, por tanto, en $A$ para todos $A$ en $\mathcal A$ .

Para cada $i$ elige un barrio $N_i$ de $b_i$ de tal manera que $N_i=K_i$ para casi todos los $i$ . En particular, el producto $N$ de la $N_i$ es una vecindad de $b$ y basta con comprobar que $N$ está en $\mathcal B$ . Como $N$ es la intersección de un número finito de $\pi_i^{-1}(N_i)$ incluso basta, por maximalidad de $\mathcal B$ para demostrar que $\pi_i^{-1}(N_i)$ está en $\mathcal B$ .

Tenemos $N_i\cap\pi_i(B)\not=\varnothing$ para todos $B$ en $\mathcal B$ (porque $b_i$ está en el cierre de $\pi_i(B)$ ), por lo que $\pi_i^{-1}(N_i)\cap B\not=\varnothing$ para todos $B$ en $\mathcal B$ y por lo tanto $\pi_i^{-1}(N_i)\in\mathcal B$ (por maximización de $\mathcal B$ ).

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Muchos atribuyen a Cech el enunciado general del Teorema de Tychonoff. Pero, como señala más adelante KP Hart, el Teorema de Tychonoff parece deberse enteramente a ... Tychonoff. Esta observación ya se hizo en la página 636 de

Chandler, Richard E.; Faulkner, Gary D. Hausdorff compactifications: a retrospective. Handbook of the history of general topology, Vol. 2 (San Antonio, TX, 1993), 631--667, Hist. Topol. 2, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998

https://books.google.com/books?id=O2Hwaj2SqigC&lpg=PA636&ots=xjvA9nwlO5&dq=772%20tychonoff&pg=PA636#v=onepage&q&f=false

La afirmación la hace Tychonoff en la página 772 de "Ein Fixpunktsatz" (DOI: 10.1007/BF01472256 , eudml ) donde dice que la prueba es la misma que la que dio para un producto de intervalos en "Über die topologische Erweiterung von Räumen" (DOI: 10.1007/BF01782364 , eudml ).

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Captura de pantalla añadida para responder a un comentario de ACL:

Answer 1

No voy a jurar que es mi favorito absoluto, pero hoy me he enterado de una buena prueba gracias a Clementino y Tholen que toman como punto de partida la caracterización de proyección cerrada de la compacidad, es decir, que un espacio $X$ es compacto si para cada espacio $Y$ la proyección $\pi: Y \times X \to Y$ es un mapa cerrado.

Si se asume esto, entonces se puede demostrar Tychonoff sin mucho dolor como sigue.

Lema: Dejemos que $(X_i)_{i: I}$ sea una familia de espacios. Entonces para un punto $x$ y el subconjunto $A$ de $\prod_{i: I} X_i$ tenemos $x \in Cl(A)$ (el cierre de $A$ ) si, para cada finito $F \subseteq I$ tenemos $\pi_F(x) \in Cl(\pi_F(A))$ bajo el operador de proyección $\pi_F: \prod_{i: I} X_i \to \prod_{i: F} X_i$ .

La prueba es totalmente rutinaria y se puede dejar al lector.

Prueba de Tychonoff: Dejemos que $(X_\alpha)_{\alpha \lt \kappa}$ sea una familia de espacios compactos indexados por un ordinal $\kappa$ . Basta con demostrar que la proyección

$$Y \times \prod_{\alpha \lt \kappa} X_\alpha \to Y$$

es un mapa cerrado para cualquier espacio $Y$ . Lo hacemos por inducción en $\kappa$ . El caso $\kappa = 0$ es trivial.

Será conveniente introducir alguna notación. Para $\gamma \leq \kappa$ , dejemos que $X^\gamma$ denotan el producto $Y \times \prod_{\alpha \lt \gamma} X_\alpha$ (así $X^0 = Y$ en esta notación), y para $\beta \leq \gamma$ dejar $\pi_\beta^\gamma: X^\gamma \to X^\beta$ sea el mapa de proyección evidente. Sea $K \subseteq X^\kappa$ se cierre, y se ponga $K_\beta := Cl(\pi_{\beta}^\kappa(K))$ . En particular $K_\kappa = K$ desde $K$ está cerrado, y hemos terminado si mostramos $\pi_0^\kappa(K) = K_0$ .

Supongamos como hipótesis inductiva que partiendo de cualquier $x_0 \in K_0$ hay $x_\beta \in K_\beta$ para cada $\beta < \kappa$ de manera que siempre que $\beta \lt \gamma \lt \kappa$ la condición de compatibilidad $\pi_\beta^\gamma(x_\gamma) = x_\beta$ se mantiene. En particular, $\pi_0^\beta(x_\beta) = x_0$ para todos $\beta \lt \kappa$ y ahora estamos tratando de ampliarlo hasta $\kappa$ .

Si $\kappa = \beta + 1$ es un ordinal sucesor, entonces la proyección

$$\pi_\beta^\kappa: X^\beta \times X_\beta \to X^\beta$$

es un mapa cerrado ya que $X_\beta$ es compacto. Así, $\pi_\beta^\kappa(K) = Cl(\pi_\beta^\kappa(K)) = K_\beta$ desde $K$ es cerrado, por lo que existe $x_\kappa \in K$ con $\pi_\beta^\kappa(x_\kappa) = x_\beta$ y luego

$$\pi_0^\kappa(x_\kappa) = \pi_0^\beta \pi_\beta^\kappa (x_\kappa) = \pi_0^\beta(x_\beta) = x_0$$

como se desee.

Si $\kappa$ es un ordinal límite, entonces podemos considerar $X^\kappa$ como límite inverso de los espacios $(X^\beta)_{\beta \lt \kappa}$ con los obvios mapas de transición $\pi_\beta^\gamma$ entre ellos. Por lo tanto, la tupla $(x_\beta)_{\beta \lt \kappa}$ define un elemento $x_\kappa$ de $X^\kappa$ y lo único que queda es comprobar que $x_\kappa \in K$ . Pero como $K$ es cerrado, el lema indica que es suficiente comprobar que para todo conjunto finito $F$ de ordinales por debajo de $\kappa$ que $\pi_F(x_\kappa) \in Cl(\pi_F(K))$ (como subespacio de $\prod_{\alpha \in F} X_\alpha$ ). Pero para cada uno de estos $F$ hay algo de $\beta \lt \kappa$ que domina todos los elementos de $F$ . A continuación, se comprueba

$$\pi_F(x_\kappa) = \pi_F^\beta \pi_\beta^\kappa(x_\kappa) = \pi_F^\beta(x_\beta) \in \pi_F^\beta(K_\beta) = \pi_F^\beta(Cl(\pi_\beta^\kappa(K))) \subseteq Cl(\pi_F^\beta \pi_\beta^\kappa(K)) = Cl(\pi_F(K))$$

donde la inclusión indicada como $\subseteq$ sólo resulta de la continuidad de $\pi_F^\beta$ . Esto completa la prueba. $\Box$

(Más detalles en el nLab .)

Answer 2

Mi favorito es la prueba mediante redes de Paul Chernoff. Un uso MUY inteligente de la convergencia generalizada en la topología de conjuntos de puntos. https://www.jstor.org/pss/2324485

Answer 3

Me sorprende que nadie haya mencionado la prueba mediante redes universales. (Se puede encontrar, por ejemplo, en 'Analysis NOW' de Pedersen y en 'Topology and geometry' de Bredon).

Una red universal en un conjunto X es una red que, para cada $Y\subset X$ , en última instancia, vive en $Y$ o $X\backslash Y$ . Se ve fácilmente que la composición de una red universal en X con una función $f:X\rightarrow Y$ da una red universal en $Y$ . Utilizando el lema del ultrafiltro, se demuestra que toda red tiene una subred universal. Todo esto no implica ninguna topología.

Combinando lo anterior con los hechos estándar, la prueba de Tychonov es extremadamente corta. Todo lo que se necesita es - un espacio es compacto si y sólo si cada red tiene un punto límite (equiv., una subred convergente), - una red en $\prod_iX_i$ converge si y sólo si converge por coordenadas.

Answer 4

He estado enseñando topología general durante varios años, pero seguía sin estar satisfecho con las pruebas dadas en los libros en los que basaba el curso. Finalmente, acabé escribiendo mis propios apuntes de clase, que aún no he terminado. En esos apuntes, doy cuatro pruebas diferentes. Dos de ellas utilizan (ultra)filtros, pero una de ellas evita la terminología. Las otras dos pruebas utilizan redes, concretamente la prueba de Chernoff sin y la de Kelley con redes universales.

Las notas pueden encontrarse en https://www.math.ru.nl/~mueger/topology.pdf (enlace actualizado; La máquina del retroceso )

Answer 5

Esta prueba puede considerarse una variación de la prueba utilizando ultrafiltros en $X$ . Quiero señalar principalmente que podemos evitar la transferencia de los ultrafiltros a través de las proyecciones si utilizamos una caracterización un poco más general de la compacidad utilizando ultrafiltros. $\newcommand{\FF}{\mathcal F}\newcommand{\UU}{\mathcal U}$

Definición. Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, $x\in X$ , $f\colon M\to X$ sea una función y $\FF$ sea un filtro en $X$ . Entonces decimos que $x$ es un $\FF$ -límite de $f$ si para cada barrio $U\ni x$ tenemos $$f^{-1}[U]\in\FF.$$

Básicamente, esta definición dice que $f^{-1}[U]$ tiene que ser un "gran conjunto". (Se puede comparar con la definición de límite de una secuencia $f\colon\mathbb N\to X$ donde $f^{-1}[U]$ tiene que ser un conjunto cofinito, es decir, pertenece al filtro de Fréchet).

En este post se pueden encontrar algunas referencias sobre esta noción: ¿Dónde se ha escrito esta generalización común de las redes y los filtros?

Ahora podemos caracterizar la compacidad de la siguiente manera

Es un hecho. Un espacio topológico es compacto si y sólo si para cada función $f\colon M\to X$ y cada ultrafiltro $\UU$ en $M$ existe un $\UU$ -límite en $X$ .

Una prueba de la implicación "fácil" puede encontrarse, por ejemplo, aquí: Datos básicos sobre los ultrafiltros y la convergencia de una secuencia a lo largo de un ultrafiltro . Si se presenta en algún curso introductorio, la prueba de que esto caracteriza a los espacios compactos dependerá probablemente de los hechos que ya se demostraron sobre los espacios compactos y los (ultra)filtros en este punto.

Prueba del teorema de Tychonoff. Dejemos que $X=\prod\limits_{i\in I} X_i$ sea un producto de espacios compactos. Supongamos que tenemos un ultrafiltro $\UU$ en $M$ y una función $f\colon M\to X$ . Entonces, para cada $i\in I$ existe algún $\UU$ -límite de $p_i\circ f$ en el espacio compacto $X_i$ . Entonces el punto $x$ determinado por $p_i(x)=x_i$ es un $\UU$ -límite de $f$ en $X$ .

(En la prueba, también hemos utilizado el hecho $\FF$ -en el producto topológico corresponde a un punto $\FF$ -límites para cada $i\in I$ .)

La demostración del teorema de Tychonoff en esta línea se da, por ejemplo, en la obra de Dixmier _Topología general ( zbmath 0545.54001 , MR753644 ) como Teorema 4.3.6 . Toda la prueba es de unas pocas líneas - por supuesto, esto está relacionado con el hecho de que se basa en un montón de cosas probadas antes de eso.