¿Cuál es su prueba favorita del Teorema de Tychonoff?

Question

Aquí está la mía. Está tomada de la página 11 de "An Introduction To Abstract Harmonic Analysis", 1953, de Loomis:

https://archive.org/details/introductiontoab031610mbp

https://ia800309.us.archive.org/10/items/introductiontoab031610mbp/introductiontoab031610mbp.pdf

(Por cierto, no sé por qué este libro no es más famoso).

Para demostrar que un producto $K=\prod K_i$ de espacios compactos $K_i$ es compacto, dejemos que $\mathcal A$ sea un conjunto de subconjuntos cerrados de $K$ que tiene la propiedad de intersección finita (FIP) --- a saber la intersección de un número finito de miembros de $\mathcal A$ es no vacío ---, y mostrar $\bigcap\mathcal A\not=\varnothing$ de la siguiente manera.

Por el Teorema de Zorn, $\mathcal A$ está contenido en algún conjunto máximo $\mathcal B$ de subconjuntos (no necesariamente cerrados) de $K$ teniendo el FIP.

El $\pi_i(B)$ , $B\in\mathcal B$ teniendo el FIP y el $K_i$ siendo compacto, hay, para cada $i$ un punto $b_i$ perteneciente al cierre de $\pi_i(B)$ para todos $B$ en $\mathcal B$ , donde $\pi_i$ es el $i$ -a la proyección canónica. Basta con comprobar que $\mathcal B$ contiene los barrios de $b:=(b_i)$ . De hecho, esto implicará que los barrios de $b$ cruzar todos los $B$ en $\mathcal B$ por lo que $b$ está en el cierre de $B$ para todos $B$ en $\mathcal B$ y, por tanto, en $A$ para todos $A$ en $\mathcal A$ .

Para cada $i$ elige un barrio $N_i$ de $b_i$ de tal manera que $N_i=K_i$ para casi todos los $i$ . En particular, el producto $N$ de la $N_i$ es una vecindad de $b$ y basta con comprobar que $N$ está en $\mathcal B$ . Como $N$ es la intersección de un número finito de $\pi_i^{-1}(N_i)$ incluso basta, por maximalidad de $\mathcal B$ para demostrar que $\pi_i^{-1}(N_i)$ está en $\mathcal B$ .

Tenemos $N_i\cap\pi_i(B)\not=\varnothing$ para todos $B$ en $\mathcal B$ (porque $b_i$ está en el cierre de $\pi_i(B)$ ), por lo que $\pi_i^{-1}(N_i)\cap B\not=\varnothing$ para todos $B$ en $\mathcal B$ y por lo tanto $\pi_i^{-1}(N_i)\in\mathcal B$ (por maximización de $\mathcal B$ ).

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Muchos atribuyen a Cech el enunciado general del Teorema de Tychonoff. Pero, como señala más adelante KP Hart, el Teorema de Tychonoff parece deberse enteramente a ... Tychonoff. Esta observación ya se hizo en la página 636 de

Chandler, Richard E.; Faulkner, Gary D. Hausdorff compactifications: a retrospective. Handbook of the history of general topology, Vol. 2 (San Antonio, TX, 1993), 631--667, Hist. Topol. 2, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998

https://books.google.com/books?id=O2Hwaj2SqigC&lpg=PA636&ots=xjvA9nwlO5&dq=772%20tychonoff&pg=PA636#v=onepage&q&f=false

La afirmación la hace Tychonoff en la página 772 de "Ein Fixpunktsatz" (DOI: 10.1007/BF01472256 , eudml ) donde dice que la prueba es la misma que la que dio para un producto de intervalos en "Über die topologische Erweiterung von Räumen" (DOI: 10.1007/BF01782364 , eudml ).

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Captura de pantalla añadida para responder a un comentario de ACL:

Answer 1

Definitivamente, la que más me gusta es la prueba a través de ultrafiltros. Sólo hay que plantear la compacidad de un espacio topológico en términos de ultrafiltros, que se obtiene fácilmente por la definición vía coberturas abiertas (aviso: la equivalencia de las definiciones es donde se usa AC)

X es compacto si y sólo si cada ultrafiltro es convergente.

Entonces se observa que

1. cualquier imagen de un ultrafiltro es un ultrafiltro (en particular, cualquier proyección de un espacio producto)

2. cualquier filtro en el espacio del producto converge si y sólo si todas sus proyecciones convergen .

Realmente sólo se necesitan unas pocas definiciones y unas pocas propiedades naturales. Mi prueba sobre lo bonito que es una prueba es: ¿puedo enseñársela a alguien simplemente mientras estoy en la cola de la cantina, en el vagón del metro?

Answer 2

Dado que todas las respuestas a esta pregunta (excepto la que implica el lema de la subbase de Alexander) se refieren a un refrito habitualmente extraño de la prueba del ultrafiltro (BOO), he decidido dar aquí dos bonitas pruebas del teorema de Tychonoff para los espacios de Hausdorff.

La primera demostración del teorema de Tychonoff para los espacios de Hausdorff utiliza la compactación Stone-Cech. Esta prueba es útil cuando se construye la compactación de Stone-Cech antes del teorema de Tychonoff.

Prueba: Supongamos que $X_{i}$ es compacto para $i\in I$ . Sea $X=\prod_{i\in I}X_{i}$ sea el espacio del producto. Entonces cada proyección $\pi_{i}:X\rightarrow X_{i}$ se extiende a un mapa continuo $\overline{\pi_{i}}:\beta X\rightarrow X_{i}$ ya que cada $X_{i}$ es compacto. Por lo tanto, el mapa $f:\beta X\rightarrow X$ donde $f(x_{i})_{i\in I}=(\overline{\pi_{i}}(x))_{i\in I}$ es una suryección continua, por lo que $X$ es compacto siendo la imagen continua suryente de $\beta X$ . QED

Para la segunda prueba utilizamos los siguientes hechos sobre los espacios uniformes que todo matemático debería conocer.

i. Todo espacio compacto de Hausdorff tiene una única uniformidad compatible y esa uniformidad es completa y totalmente acotada.

ii. Si un espacio uniforme es completo y totalmente acotado, entonces es compacto.

El teorema de Tychonoff se deduce entonces inmediatamente del hecho de que el producto de espacios uniformes completos es completo y que el producto de espacios uniformes totalmente acotados es totalmente acotado. Y esta demostración es intuitiva porque es más fácil imaginar que el producto de espacios uniformes completos y totalmente acotados es completo y totalmente acotado que imaginar que el producto de espacios compactos es compacto.

Answer 3

Me gusta la prueba del lema de la subbase de Alexander. Por ejemplo Una prueba aquí . Ese lema también da el criterio de compacidad en los espacios ordenados (la completitud implica la compacidad).

Answer 4

Mi prueba favorita es la de los espacios de piedra de Johnstone para locales porque funciona sin el axioma de elección.

Answer 5

Aquí es la prueba original de Tychonoff, para potencias del intervalo unitario. Construye un punto de acumulación completo de un conjunto infinito dado por recursión transfinita a lo largo del conjunto índice. En la página 772 de este documento se encuentra la formulación del teorema general (en mi traducción): "El producto de espacios compactos es de nuevo compacto. Se demuestra este teorema palabra por palabra como en el caso de la compacidad del producto de intervalos". Algunos autores (Folland, véase el comentario más abajo, y Walter Rudin en su `Análisis Funcional') atribuyen a Čech la demostración del resultado general, pero la demostración de Čech es la misma que la de Tychonoff y, basándome en la lectura de sus artículos, creo que Tychonoff merece todo el crédito por el teorema y su demostración.

@Henno: no es Fundamenta sino Mathematische Annalen.