El normalizador de $\operatorname{Spin}(2N)$ en $\operatorname{U}(2^{N-1})$ ?

Question

$\DeclareMathOperator\U{U}\DeclareMathOperator\Spin{Spin}$ Puedo demostrar que $$\U(2^{N-1})\supset \Spin(2N)$$ cuando $2N > 4$ o un número entero positivo $N > 2$ Así que $\Spin(2N)$ puede ser incrustado en $\U(2^{N-1})$ .

Pregunta

• Mi pregunta es cuál es el normalizador de $\Spin(2N)$ en $G=\U(2^{N-1})$ ?

• Quiero encontrar el conjunto máximo de $g \in G= \U(2^{N-1})$ tal que $g$ satisface $$g n g^{-1} = n'$$ para cualquier $n \in \Spin(2N)$ y debe haber algún $n'\in \Spin(2N)$ .

Aquí hay algunos ejemplos (uno está resuelto, quedan dos para que los probemos),

1. $\DeclareMathOperator\SU{SU}\U(4) \supset \Spin(6) = \SU(4)$ . Desde $\SU(4)$ es el núcleo del mapa determinante $\U(4) \to \U(1)$ Así que $\SU(4)$ es normal en $\U(4)$ y "el normalizador de $\Spin(6)=\SU(4)$ en $\U(4)$ es $\U(4)$ ."

2. $\U(8) \not \supset \Spin(8)$ pero aún podemos pedir el normalizador de $\Spin(8)$ ¿en otros grupos alternativos? [Puede modificar esta pregunta según convenga...]

3. $\U(16) \supset \Spin(10)$ el normalizador de $\Spin(10)$ en $\U(16)$ ¿es ?

Me preocupan especialmente las estructuras de grupo completas, incluidos los sectores de grupos finitos, que deben incluirse en el normalizador (por tanto, mucho más que el álgebra de Lie local y no sólo él).

Answer 1

Las respuestas a estas preguntas se pueden resolver con el material del capítulo 11 del libro Espinores y calibraciones por F. Reese Harvey. También hay que recordar que, para $N\not=4$ el grupo de automorfismos de $\mathrm{Spin}(2N)$ es $\mathrm{O}(2N)$ en lugar de $\mathrm{SO}(2N)$ . Las respuestas dependen en cierta medida de $N$ modulo $4$ .

La cuestión es que $\mathrm{Spin}(2N)$ se representa en $\mathbb{C}^{2^{N-1}}$ como el espacio espinor completo (cuando $N$ es impar) o un espacio semiespinor (cuando $N$ es par), y el anillo conmutador de esta representación (que puede incluir la conjugación compleja) depende de $N$ modulo $4$ .

Por ejemplo, cuando $N=4$ la representación de $\mathrm{Spin}(8)$ es en realidad la complejización de una representación real de 8 dimensiones de $\mathrm{Spin}(8)$ cuya imagen en $\mathrm{O}(8)$ es sólo una doble cubierta sobre $\mathrm{SO}(8)$ . (En particular, esta representación semiespinor no es fiel.) Por lo tanto, para mayor claridad, permítanme llamar a la imagen de esta representación $\mathrm{SO}'(8)\subset\mathrm{O}(8)\subset\mathrm{U}(8)$ . El normalizador de $\mathrm{SO}'(8)$ en $\mathrm{O}(8)$ es $\mathrm{O}(8)$ y la conjugación por elementos de $\mathrm{O}(8)$ inducen todos los automorfismos de $\mathrm{SO}'(8)\simeq \mathrm{SO}(8)$ . Observando que el centralizador de $\mathrm{SO}'(8)$ en $\mathrm{U}(8)$ es simplemente $S^1 = \{\lambda I_8 \ |\ |\lambda|^2=1\ \}$ se deduce fácilmente que el normalizador de $\mathrm{SO}'(8)$ en $\mathrm{U}(8)$ es simplemente $S^1{\cdot}\mathrm{O}(8)$ que tiene dos componentes.

Mientras tanto, cuando $N=5$ El grupo $\mathrm{Spin}(10)$ se incrusta en $\mathrm{SU}(16)$ y esta representación irreducible en $\mathbb{C}^{16}$ es no la complejización de una representación real de 16 dimensiones. Además, la representación conjugada en $\mathbb{C}^{16}$ no es isomorfo (como representación compleja) a la representación dada. En particular, un elemento del normalizador de $\mathrm{Spin}(10)$ en $\mathrm{SU}(16)$ sólo puede inducir un automorfismo interno de $\mathrm{Spin}(10)$ . Mientras tanto, el centralizador de $\mathrm{Spin}(10)$ en $\mathrm{U}(16)$ es $S^1$ los múltiplos de la identidad. Así, el normalizador de $\mathrm{Spin}(10)$ en $\mathrm{U}(16)$ es $S^1{\cdot}\mathrm{Spin}(10)$ que está conectado.

En general, esta es una información sobre las representaciones de los giros que se puede extraer del libro de Harvey:

1. Para $n>0$ la representación de espín $\rho:\mathrm{Spin}(4n{+}2)\to\mathrm{SU}(2^{2n})$ es fiel e irreducible (incluso como representación real). Además, el centro de $\mathrm{Spin}(4n{+}2)$ que es isomorfo a $\mathbb{Z}_4$ está mapeado bajo $\rho$ a $\{\,\lambda I_{2^{2n}}\ |\ \lambda^4 = 1\,\}$ que se encuentra en el centro de $\mathrm{SU}(2^{2n})$ . En particular, si $N\subset \mathrm{SU}(2^{2n})$ es el normalizador de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ en $\mathrm{SU}(2^{2n})$ entonces la conjugación por un elemento $g\in N$ es la identidad en el centro de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ por lo que representa un automorfismo interno de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ y, por tanto, puede escribirse de la forma $g = \rho(h)z$ para algunos $h\in\mathrm{Spin}(4n{+}2)$ y algunos $z\in\mathrm{SU}(2^{2n})$ que se encuentra en el centralizador de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ . Porque la representación $\rho$ es irreducible, este centralizador debe ser un múltiplo de la identidad, es decir, $z = \lambda I_{2^{2n}}$ donde $\lambda^{2^{2n}} = 1$ . Así, $N$ es el producto en $\mathrm{SU}(2^{2n})$ de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ con el centro de $\mathrm{SU}(2^{2n})$ . En particular, se deduce que el normalizador de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ en $\mathrm{U}(2^{2n})$ es el producto de $\rho\bigl(\mathrm{Spin}(4n{+}2)\bigr)$ con el centro de $\mathrm{U}(2^{2n})$ un grupo isomorfo a $S^1$ . En particular, el normalizador en el grupo unitario completo es conectado.

2. Para $n>0$ la representación de espín $\rho = (\rho_+,\rho_-):\mathrm{Spin}(8n{+}4)\to\mathrm{Sp}(2^{4n})\times\mathrm{Sp}(2^{4n})$ es fiel, pero cada una de las representaciones de semiespín $\rho_\pm:\mathrm{Spin}(8n{+}4)\to\mathrm{Sp}(2^{4n})$ aunque es irreducible (incluso como representación real), es una doble cobertura sobre su imagen en $\mathrm{Sp}(2^{4n})$ . De hecho, el centro de $\mathrm{Spin}(8n{+}4)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ de tal manera que el núcleo de $\mathrm{Spin}(8n{+}4)\to \mathrm{SO}(8n{+}4)$ es $\{(\pm 1,\pm1)\}\subset\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ mientras que el núcleo de $\rho_+$ es $\{(\pm 1,1)\}\subset\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ y el núcleo de $\rho_-$ es $\{(1,\pm1)\}\subset\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . No conozco una notación universalmente aceptada, pero algunos escritores utilizan $\mathrm{SO}'(8n{+}4)\subset\mathrm{Sp}(2^{4n})$ para $\rho_+\bigl(\mathrm{Spin}(8n{+}4)\bigr)$ y $\mathrm{SO}''(8n{+}4)\subset\mathrm{Sp}(2^{4n})$ para $\rho_-\bigl(\mathrm{Spin}(8n{+}4)\bigr)$ . Es importante señalar que ni el $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ ni $\mathrm{SO}''(8n{+}4)$ tienen automorfismos externos. En consecuencia, el normalizador de $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ en $\mathrm{Sp}(2^{4n})$ consiste en el producto de $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ con su centralizador en $\mathrm{Sp}(2^{4n})$ . Pero, como $\rho_+$ es irreducible como representación real, su centralizador en $\mathrm{SO}(2^{4n+2})$ es $\mathrm{Sp}(1)$ de los cuales, sólo su centro se encuentra en $\mathrm{Sp}(2^{4n})$ y por lo tanto en $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ . Así, el normalizador de $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ en $\mathrm{Sp}(2^{4n})$ es sólo $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ mismo. A partir de esta información, ahora es fácil determinar los normalizadores de $\mathrm{SO}'(8n{+}4)$ en los grupos más grandes $\mathrm{U}(2^{4n+1})$ y $\mathrm{O}(2^{4n+2})$ . La historia para $\mathrm{SO}''(8n{+}4)$ es similar.

3. Para $n>0$ la representación de espín $\rho = (\rho_+,\rho_-):\mathrm{Spin}(8n)\to\mathrm{SO}(2^{4n-1})\times\mathrm{SO}(2^{4n-1})$ es fiel, pero cada una de las representaciones de semiespín $\rho_\pm:\mathrm{Spin}(8n)\to\mathrm{SO}(2^{4n-1})$ mientras que es irreducible con el anillo conmutativo $\mathbb{R}$ es una doble cobertura sobre su imagen en $\mathrm{SO}(2^{4n-1})$ . De hecho, el centro de $\mathrm{Spin}(8n)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ de tal manera que el núcleo de $\mathrm{Spin}(8n)\to \mathrm{SO}(8n)$ es $\{(\pm 1,\pm1)\}\subset\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ mientras que el núcleo de $\rho_+$ es $\{(\pm 1,1)\}\subset\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ y el núcleo de $\rho_-$ es $\{(1,\pm1)\}\subset\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . De nuevo, no conozco una notación universalmente aceptada, pero algunos escritores utilizan $\mathrm{SO}'(8n)\subset\mathrm{SO}(2^{4n-1})$ para $\rho_+\bigl(\mathrm{Spin}(8n)\bigr)$ y $\mathrm{SO}''(8n)\subset\mathrm{SO}(2^{4n-1})$ para $\rho_-\bigl(\mathrm{Spin}(8n)\bigr)$ . Cuando $n>1$ , ni $\mathrm{SO}'(8n)$ ni $\mathrm{SO}''(8n)$ tienen automorfismos externos. En consecuencia, el normalizador de $\mathrm{SO}'(8n)$ en $\mathrm{O}(2^{4n-1})$ consiste en el producto de $\mathrm{SO}'(8n)$ con su centralizador en $\mathrm{O}(2^{4n-1})$ . Pero, como $\rho_+$ es irreducible con el anillo de conmutación $\mathbb{R}$ su centralizador en $\mathrm{O}(2^{4n-1})$ es $\pm 1$ veces la identidad, que ya se encuentra en $\mathrm{SO}'(8n)$ . Así, el normalizador de $\mathrm{SO}'(8n)$ en $\mathrm{O}(2^{4n-1})$ es sólo $\mathrm{SO}'(8n)$ mismo. La historia para $\mathrm{SO}''(8n{+}4)$ es similar. Por último, cuando $n=1$ Resulta que $\mathrm{SO}'(8)\simeq \mathrm{SO}''(8)\simeq \mathrm{SO}(8)$ (debido a la trialidad), por lo que estos grupos sí tienen automorfismos externos, y por tanto el normalizador de estos grupos en $\mathrm{O}(8)$ es $\mathrm{O}(8)$ .