Ejemplos de afirmaciones que no se pueden demostrar con un método prometedor

Question

Motivación: En el artículo de Razborov y Rudichs "Pruebas naturales" definen una clase de pruebas que llaman "pruebas naturales" y muestran que bajo ciertos supuestos no se puede demostrar que $P\neq NP$ utilizando una "prueba natural". Sé que este tipo de resultados es común en la teoría de la complejidad, pero no conozco ningún ejemplo bueno de otros campos. Por eso pregunto:

Pregunta: ¿Puedes dar un ejemplo de un enunciado S que no se sepa que es indemostrable (podría ser un problema sin resolver o pero también podría ser un teorema), una clase de pruebas que parezca prometedora y una prueba de que una prueba de esta clase no puede demostrar S.

Me interesan tanto los problemas famosos no resueltos como los ejemplos elementales, que pueden servir para explicar este tipo de pensamiento a, por ejemplo, estudiantes de primer año.

Answer 1

El hecho de que el Último Teorema de Fermat sea falso sobre el $p$ -adics demuestra que no se puede demostrar con argumentos que utilicen congruencias.

El hecho de que el Teorema de Steiner-Lehmus es falsa sobre los complejos muestra que no se puede demostrar utilizando lo que John Conway llama a los argumentos de "búsqueda de igualdad" .

Este probablemente no sea explicable a nivel de principiante, pero el hecho de que el teorema de Paris-Harrington y el teorema menor del grafo de Robertson-Seymour no sean demostrables en la aritmética de Peano de primer orden muestra que se necesita algún tipo de razonamiento "infinito" o una inducción sofisticada para demostrarlos.

Answer 2

Hay ejemplos (¿posiblemente debidos a Hecke?) de funciones zeta que obedecen casi todas las propiedades conocidas de la función zeta de Riemann, como la ecuación funcional, el producto de Euler y la asintótica en el infinito, pero que tienen ceros no triviales fuera de la línea crítica. Esto indica fuertemente que no se puede esperar demostrar la hipótesis de Riemann puramente por métodos analíticos complejos; en algún momento, hay que utilizar algo más sobre los enteros que el teorema fundamental de la aritmética (codificado aquí como el producto de Euler), la fórmula de la suma de Poisson (codificada aquí como la ecuación funcional), y la distribución asintótica en los reales (codificada aquí como asintótica de zeta).

En un espíritu relacionado, hay ejemplos (debidos a Diamond, Montgomery y Vorhauer) de enteros de Beurling (generados por un conjunto de primos de Beurling, que tienen una distribución asintótica similar a la de los enteros racionales) cuya función zeta tiene ceros no triviales o no se continúa analíticamente más allá de la región clásica libre de ceros. Es cierto que este ejemplo no tiene la ecuación funcional, pero parece indicar que los métodos de la teoría numérica multiplicativa son insuficientes para resolver la hipótesis de Riemann.

EDIT: Resulta que mi primer párrafo se basa en información obsoleta. Actualmente es posible que todas las funciones del Clase Selberg (cuyos miembros obedecen todos los axiomas anteriores, además de la conjetura de Ramanujan) podría obedecer la RH. Sin embargo, no sé si alguien está proponiendo seriamente que esta conjetura mucho más general sea la forma correcta de atacar la RH y sus parientes.

Answer 3

La desigualdad $x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq 0$ para todos los reales no negativos $x$ , $y$ , $z$ (un caso particular de La desigualdad de Schur ) no se puede demostrar sustituyendo $x=A^2$ , $y=B^2$ , $z=C^2$ y escribiendo el lado izquierdo como suma de cuadrados de polinomios. Esta es la razón por la que El 17º problema de Hilbert necesita cuadrados de funciones racionales en lugar de cuadrados de polinomios.

Answer 4

La afirmación, aunque por desgracia quizá no la prueba, de la solución de Wilkie a El problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski es ciertamente accesible para los estudiantes de primer año.

Answer 5

Un ejemplo es el teorema de Roth: que cualquier conjunto de enteros con densidad positiva contiene una progresión aritmética de longitud 3. Esto se ha demostrado ahora de varias maneras diferentes (normalmente utilizando el análisis de Fourier), pero uno podría esperar una demostración más elemental.

Es decir, sólo aplicando Cauchy-Schwartz y el principio de encasillamiento de forma inteligente se pueden demostrar muchas cosas sobre la estructura aditiva de los conjuntos. El ejemplo de Behrend, sin embargo, da un conjunto en $[1,N]$ de tamaño $$>cNe^{-O(\sqrt{\log N})}$$

para alguna constante $c>0$ sin progresiones aritméticas de longitud 3. En palabras de Tao y Vu (Additive Combinatorics, Exercise 10.1.4),

Esto descarta una serie de enfoques elementales para demostrar el teorema de Roth o el teorema de Szemeredi (por ejemplo, los argumentos basados enteramente en Cauchy-Schwarz y los argumentos de tipo principio de encasillamiento), ya que estos tienden a dar sólo límites de tipo polinómico.