Demuestra que la raíz enésima es continua de Cauchy

Question

Mi propósito es demostrar que la función $f:Q\to R$ dado por $x\mapsto x^a$ ( $a$ es real) puede extenderse continuamente a $R$ .

Para ello quiero demostrar que esta función es Cauchy-continua. Puedo demostrar por inducción que $x\mapsto x^n$ es Cauchy-continuo cuando $n$ es un número entero.

Mi pregunta es sobre el siguiente paso: ¿cuándo $n$ es un número entero positivo, cómo demostrar que $x\mapsto x^{1/n}$ ¿es Cauchy continuo?

EDIT1: $x^n$ se define como $x\cdot x^{n-1}$ y $x^1=x$ .

EDIT2: Si $q>0$ es racional y si $n\geq 1$ es un número entero, el número $q^{1/n}$ se define como el único real $y>0$ tal que $y^n=q$ . (Asumo que la existencia y la unicidad ya están hechas)

Answer 1

Quieres mostrar $f$ es continua de Cauchy, y $f$ es una función definida en $\mathbb{Q}$ y $x$ es un número real fijo; esto demostrará la extensibilidad.

¿Por qué entonces considera funciones que varían en $x$ en el siguiente párrafo. $x$ se fija desde el principio (y debe ser $>0$ RECUERDO QUE ).

Así que lo que hay que demostrar (no por inducción) es que cuando $q_n$ es una secuencia racional de Cauchy, entonces $x^{q_n}$ es Cauchy (en $\Bbb R$ ) también.

Si $q_n = \frac{a_n}{b_n}$ en términos mínimos y $b_n >0$ , $x^{q_n}$ se define como $(\sqrt[b_n]{x})^{a_n}$ donde las potencias integrales negativas son fracciones ( $x^{-k}=\frac{1}{x^k}$ etc.) Ahora empieza a estimar con épsilon, a distinguir los casos, etc. Me temo que es una cosa complicada.