Punto de interpolación fuera del cuadrante

Question

Estoy tratando de interpolar un punto de destino $(x,y)$ fuera de un $4$ polígono convexo de puntos dado un $4$ polígono de la fuente de puntos con valores conocidos. Es una especie de interpolación bilineal inversa, excepto cuando el punto interpolado se encuentra FUERA de un polígono convexo.

Por ejemplo, dado el siguiente polígono de origen, conozco todos los valores del polígono $(ABCD)$ el punto $(P)$ y luego la intersección $t$ $(0 \dots 1)$ la distancia $s1$ y $s2$ :

Los puntos del polígono serán trasladados a nuevos puntos en el destino, es decir:

Donde los valores conocidos son $ABCD$ la intersección de $t$ (será el mismo que el de la fuente), $s2$ , $s1$ , pero se desconoce $P$

¿Existe una forma de resolver para $P$ sin usar la trigonometría? Estoy seguro de que lo hay, pero me he quedado mirando tanto tiempo que mi cerebro se ha apagado.

Answer 1

$P=Q+\dfrac{s_1}{s_2}(Q-R)$ , donde $Q=A+t(B-A)$ y $R=C+t(D-A)$ son los dos puntos marcados con $t$ en el diagrama.

Answer 2

La fórmula general de interpolación bilineal es: $$P(u,v) = (1-u)(1-v)C + (1-u)vD + u(1-v)A + uvB$$ Se puede ver fácilmente que $P(0,0)=C$ , $P(0,1)=D$ , $P(1,0)=A$ , $P(1,1)=B$ .

Además, los puntos de la forma $P(0,v)$ se encuentran a lo largo de la línea $CD$ , puntos de la forma $P(1,v)$ se encuentran a lo largo de $AB$ y así sucesivamente. El punto $P(u,v)$ se encuentra dentro del cuadrilátero si $0 \le u \le 1$ y $0 \le v \le 1$ o fuera de ella.

Los significados de $s1$ y $s2$ son un poco oscuros, por lo que es una forma extraña de especificar un punto. Pero de todos modos, dado un valor $t$ y dos valores $s1$ y $s2$ , debes poner

$$ u = t \quad ; \quad v = (s1+s2)/s2$$

y luego conectar estos $u$ y $v$ en la fórmula de $P(u,v)$ arriba. Tenga en cuenta que $v>1$ lo que es de esperar ya que su punto está fuera del cuadrilátero.

Este es el mismo resultado que se dio en la otra respuesta; sólo que está escrito en términos de interpolación bilineal general (que puede ser útil), en lugar de en términos geométricos.