¿Para qué valor de k, $x^{2} + 2(k-1)x + k+5$ tiene al menos una raíz positiva?

Question

¿Para qué valor de k, $x^{2} + 2(k-1)x + k+5$ tiene al menos una raíz positiva?

Enfoque: Caso I : Sólo $1$ raíz positiva, esto implica $0$ se encuentra entre las raíces, por lo que $$f(0)<0$$ y $$D > 0$$

Caso II: Ambas raíces son positivas. Esto implica $0$ se encuentra detrás de ambas raíces. Así que, $$f(0)>0$$ $$D0$$ Además, la abscisa del vértice $> 0 $

Hice el cálculo y encontré la intersección pero no es correcta. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Sólo te interesa la mayor de las dos raíces, el signo de la menor es irrelevante. Así que aplica la fórmula cuadrática para obtener sólo la raíz mayor, que es $\frac{-2(k-1)+\sqrt{4(k-1)^2-4(k+5)}}{2} = -k+1+\sqrt{k^2-3k-4}$ . Necesitas que la parte dentro de la raíz cuadrada sea $\geq 0$ Así que $k$ debe ser $\geq 4$ o $\leq -1$ . Ahora bien, si $k\geq 4$ Entonces, para tener $-k+1+\sqrt{k^2-3k-4}>0$ , usted requiere $k^2-2k-4> (k-1)^2$ , lo cual es una contradicción. Alternativamente, si $k\leq -1$ entonces $-k+1+\sqrt{k^2-3k-4}$ debe ser positivo, como se requiere.

De este modo, se obtiene el resultado deseado siempre que $k\leq -1$ .

Answer 2

El raíces vienen dadas por $1-k\pm\sqrt{k^2-3k-4}$ para lo cual tenemos: $$\cases{ 1 - k + \sqrt{k^2 - 3k - 4} > 0 & if $ \phantom{~-5< \;}k \le -1 $\\ 1 - k - \sqrt{k^2 - 3k - 4} > 0 & if $ ~-5<k\le -1 $. } $$ Wolfram Alpha da la más y restar casos. Así que para $k\le -1$ , se obtiene al menos una raíz positiva.

Answer 3

Supongamos que $x_{1}$ es una raíz real, entonces tenemos eso:

$$ (x_{1}+(k-1))^{2} - (k^2-3k-4) = 0 $$ $$(x_{1}+(k-1))^{2} = (k^2-3k-4)$$ $$(k^2-3k-4) \ge 0$$

Obviamente se ve que las raíces positivas se obtienen sólo cuando $k \le -1$ .

Q.E.D.