Dejemos que $f$ sea una función armónica. Demostrar que $\overline{f}$ es armónico.

Question

Dejemos que $f$ sea una función armónica. Demostrar que $\overline{f}$ es armónico.

Necesito ayuda para escribir una prueba rigurosa. Gracias

Answer 1

Tenemos $f_{xx}=\partial_{xx} u(x,y)+i\partial_{xx}v(x,y)$ y lo mismo para la derivada en $y$ Por lo tanto $\Delta f(x,y)=\Delta u(x,y)+i\Delta v(x,y)$ . Como $u$ y $v$ admitir real valores, también lo hace $\Delta u$ y $\Delta v$ Por lo tanto $\Delta u=0=\Delta v$ .

Como $\Delta\bar f(x,y)=\Delta u(x,y)-i\Delta v(x,y)$ , obtenemos que $\bar f$ es armónico si (y sólo si) también lo es $f$ .