Deja que $f$ sea una función armónica. Demuestra que $\overline{f}$ es armónica.

Question

Sea $f$ una función armónica. Demuestra que $\overline{f}$ es armónica.

Necesito ayuda para escribir una demostración rigurosa. Gracias

Answer 1

Tenemos $f_{xx}=\partial_{xx} u(x,y)+i\partial_{xx}v(x,y)$ y lo mismo para la derivada en $y$, por lo tanto $\Delta f(x,y)=\Delta u(x,y)+i\Delta v(x,y)$. Dado que $u$ y $v$ admiten valores reales, $\Delta u$ y $\Delta v$ también lo hacen, por lo tanto $\Delta u=0=\Delta v.

Dado que $\Delta\bar f(x,y)=\Delta u(x,y)-i\Delta v(x,y)$, obtenemos que $\bar f$ es armónica si (y solo si) lo es $f$.