La cuestión que plantea no es en absoluto trivial. Pero se puede intuir utilizando la característica de Euler. A gráfico se puede ver como un polígono con cara, aristas y vértices, que se puede desdoblar para formar un conjunto posiblemente infinito de polígonos que matizan la esfera, el plano o el plano hiperbólico. La característica de Euler es $\chi = V - E + F$ donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, el gráfico tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo de papel pintado; y si es negativa, tendrá una estructura hiperbólica. Cuando se enumera todo el conjunto de grafos posibles, se comprueba que sólo 17 tienen la característica de Euler 0.
Puedes probar la función (Característica de Euler) con cualquier poliedro, por ejemplo Comprobará que $\chi = 2$ . Así que, en cierto sentido, es una medida de la curvatura del espacio en el que se encuentra. Las pruebas que implican la característica de Euler pueden ser extremadamente sencillas, pero también pueden ser realmente complejas (se utiliza mucho en topología algebraica). En cualquier caso, la función da condiciones sobre los polígonos con los que se trabaja. Recuerdo una prueba muy sencilla del hecho de que cualquier poliedro tiene al menos una cara que tiene 5 lados o menos:
Prueba : En cualquier vértice, tienes 3 o más aristas, por lo que $V \leq \frac{2A}{3}$ . Supongamos que todas las caras tienen 6 lados o más: entonces, $F \leq \frac{2E}{3}$ . Ahora, la fórmula de Euler da $E + 2 = F + V \leq \frac{2A}{3} + \frac{2E}{3} = A$ , lo cual es una contradicción. Esto completa la prueba.
Así que cualquier teselación tiene una restricción fundamental en la fórmula de Euler (en nuestro caso, es 0 = V - E + F).
En cuanto a las teselaciones en sí, no es exactamente la forma del polígono lo que importa, sino su grupo de simetría.
Imagina que quieres inventar un patrón para hacer una teselación. Una simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformar el patrón para que éste tenga exactamente el mismo aspecto después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional se da cuando el patrón puede ser trasladado (desplazado) una distancia finita y aparecer sin cambios. Piense en desplazar un conjunto de rayas verticales horizontalmente una raya. El patrón no cambia.
A veces tienen sentido dos categorizaciones, una basada sólo en las formas y otra que incluye también los colores. Cuando se ignoran los colores puede haber más simetría. Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se llaman isometrías del plano euclidiano (traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones de deslizamiento). Así, al detectar un patrón de una teselación, a veces es más fácil detectar las isometrías que el propio patrón. Y es utilizando estas isometrías como se pueden crear los patrones.
Hay exactamente 17 grupos distintos, lo que significa que hay 17 formas diferentes de hacer una teselación (todas ellas, por cierto, se pueden encontrar en la Alhambra). Es el caso bidimensional de un problema más general: el caso 3D, por ejemplo, puede interpretarse como el número de estructuras cristalinas diferentes.
Si quieres ver cómo crear los 17 patrones diferentes, mira aquí . Hay algunos gifs animados que hice hace tiempo.
Para más información sobre los grupos de papel pintado, lea este .
