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Varianza y valor esperado de 2X

Tengo 2 problemas similares:

  1. dado XPo(3) , hallar la varianza de 2X
  2. dado XB(200,19) , hallar el valor esperado de 2X+3

No estoy muy seguro de lo que se espera que calcule en caso de que sea Var(2X) y E[2X+3] respectivamente o debería ser 2Var(X) y 2E[X+3] . Si es la segunda, entonces: para (1) XPo(3)λ=3Var(X)=λ=32Var(X)=23 y para (2) XB(200,19)E[X+3]=2009+32E[X+3]=22009+3

Pero si es la primera no sé cómo puedo encontrar la varianza y el valor esperado con la información dada


después de leer las respuestas que hice para (1): E[2X]=i=02ieλλii!=eλi=0(2λ)ii!=eλe2λ=eλ=e3 y de la misma manera E[(2X)2]=E[(4X)]=i=04ieλλii!=eλi=0(4λ)ii!=eλe4λ=e3λ=e9 por lo que Var(X)=E[(2X)2](E[2X])2=e9(e3)2=e9e6

como para (2): E[2^X]=\sum^{200}_{i=0}2^i\binom{200}{i}(\frac{1}{9})^i(1-\frac{1}{9})^{200-i} = \sum^{200} _{i=0}\binom{200}{i}(\frac{2}{9})^i (\frac{8}{9})^{200-i} =(\frac{2}{9} + \frac{8}{9})^{200} = (\frac{10}{9})^{200} así que E[2^{X+3}]=E[8\cdot 2^X]=8\cdot E[2^X]=8(\frac{10}{9})^{200}

3voto

heropup Puntos 29437

El función generadora de probabilidades (PGF) de una variable aleatoria X viene dada por \mathcal P_X(t) = \operatorname{E}[t^X] siempre que esta expectativa esté bien definida. Para X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda) tenemos \begin{align} \mathcal P_X(t) &= \sum_{x=0}^\infty t^x \Pr[X = x] \\ &= \sum_{x=0}^\infty t^x e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!} \\ &= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda t)^x}{x!} \\ &= e^{-\lambda} e^{\lambda t} \sum_{x=0}^\infty e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^x}{x!} \\ &= e^{\lambda (t-1)}, \end{align} donde en el último paso, reconocemos que el sumando es la función de masa de probabilidad para una variable aleatoria de Poisson con parámetro \lambda t por lo que la suma es igual a 1 .

Del mismo modo, dejo como ejercicio demostrar que si X \sim \operatorname{Binomial}(n,p) entonces \mathcal P_X(t) = ((1-p) + pt)^n = (1 + p(t-1))^n. Sugerencia: utilice el teorema del binomio (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k.


Con esto en la mano, ahora podemos evaluar fácilmente los momentos deseados. Tenemos \operatorname{Var}[2^X] = \operatorname{E}[(2^X)^2] - \operatorname{E}[2^X]^2 = \operatorname{E}[4^X] - \operatorname{E}[2^X]^2 = \mathcal P_X(4) - (\mathcal P_X(2))^2, y \operatorname{E}[2^{X+3}] = \operatorname{E}[8 \cdot 2^X] = 8 \operatorname{E}[2^X] = 8 \mathcal P_X(2). Les dejo a ustedes la evaluación de estos para sus respectivas distribuciones.

0voto

jerrymor Puntos 11

Es necesario calcular E[2^{X+3}] y \mathrm{Var}[2^X] . Eso es lo que se pide.

Para calcular E[2^X] Tendrás que calcular \int_x 2^x p(x) dx , donde p(x) es el pdf de B\left(200, \frac19\right) . Lo mismo ocurre con la varianza.

0voto

Benjamin Wang Puntos 52

Encuentre la varianza de 2^X para X ~ Poi(3).

En primer lugar, ¿qué es E(2^X) ? Intuitivamente, esto es sólo 2^3 . Vamos a comprobarlo:

\sum_{k=0}^\infty2^k\frac{e^{-3}3^k}{k!} = \frac{e^{-3}}{e^{-6}}\sum_{k=0}^\infty\frac{e^{-6}6^k}{k!} = e^3.

Bueno, eso fue sorprendente. De hecho, usando los mismos cálculos, E(b^X) para X ~ Poi(a) es \exp(ab-a)=\exp(a(b-1)) .

Le invito a utilizar cálculos similares para encontrar E((2^X)^2)=E(2^{2X}) y terminar el cálculo. Siéntase libre de publicar su solución, ya que estaría interesado en el resultado.

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