Tengo 2 problemas similares:
- dado X∼Po(3) , hallar la varianza de 2X
- dado X∼B(200,19) , hallar el valor esperado de 2X+3
No estoy muy seguro de lo que se espera que calcule en caso de que sea Var(2X) y E[2X+3] respectivamente o debería ser 2Var(X) y 2E[X+3] . Si es la segunda, entonces: para (1) X∼Po(3)⟹λ=3⟹Var(X)=λ=3⟹2Var(X)=23 y para (2) X∼B(200,19)⟹E[X+3]=2009+3⟹2E[X+3]=22009+3
Pero si es la primera no sé cómo puedo encontrar la varianza y el valor esperado con la información dada
después de leer las respuestas que hice para (1): E[2X]=∞∑i=02i⋅e−λλii!=e−λ∞∑i=0(2λ)ii!=e−λ⋅e2λ=eλ=e3 y de la misma manera E[(2X)2]=E[(4X)]=∞∑i=04i⋅e−λλii!=e−λ∞∑i=0(4λ)ii!=e−λ⋅e4λ=e3λ=e9 por lo que Var(X)=E[(2X)2]−(E[2X])2=e9−(e3)2=e9−e6
como para (2): E[2^X]=\sum^{200}_{i=0}2^i\binom{200}{i}(\frac{1}{9})^i(1-\frac{1}{9})^{200-i} = \sum^{200} _{i=0}\binom{200}{i}(\frac{2}{9})^i (\frac{8}{9})^{200-i} =(\frac{2}{9} + \frac{8}{9})^{200} = (\frac{10}{9})^{200} así que E[2^{X+3}]=E[8\cdot 2^X]=8\cdot E[2^X]=8(\frac{10}{9})^{200}