Métodos de las características

Question

Tengo un problema para resolver la EDO asociada a la pregunta, cualquier ayuda será muy apreciada.

Utilizar el método de las características para resolver el problema

$(x-y)\dfrac{\partial u}{\partial x}+(x+y)\dfrac{\partial u}{\partial y}=\alpha u$

donde $\alpha$ es una constante, con la condición inicial $u(x,0)=x^2,x\geq0$ .

Al considerar su solución explique :

(i) Por qué no se pueden especificar las condiciones iniciales en el conjunto $x$ -eje

(ii) por qué no es posible una solución de valor único si $\alpha\neq u$

Por lo que he aprendido, he sustituido

$\dfrac{dx}{ds}=x-y$ y $\dfrac{dy}{ds}=x+y$ pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Si entiendo bien, son dos preguntas : Primera : resolver la EDP . Segundo : "Considerando su solución explique" los dos puntos (i) y (ii).

SUGERENCIA : Resolver la EDP con el método de las características.

$(x-y)\dfrac{\partial u}{\partial x}+(x+y)\dfrac{\partial u}{\partial y}=\alpha u \quad$ donde $\alpha$ es una constante.

$$\frac{dx}{x-y}=\frac{dy}{x+y}=\frac{du}{\alpha u}$$ Primera ecuación característica de $\frac{dx}{x-y}=\frac{dy}{x+y}=\frac{xdx+ydy}{x^2+y^2}=\frac{du}{\alpha u}$

$\frac{1}{2}\ln|x^2+y^2|=\frac{1}{\alpha}\ln|u|+$ constante. $$(x^2+y^2)^{\alpha /2}u=c_1$$

Segunda ecuación característica de $\frac{dx}{x-y}=\frac{dy}{x+y}$

Para resolver esta EDO homogénea, cambio de función : $y=xf(x)$

$\frac{dx}{x-xf}=\frac{fdx+xdf}{x+xf}\quad\to\quad \frac{1-f}{1+f^2}f'=x$

$x^2+\ln(f^2+1)-2\tan^{-1}(f)=c_2$ $$x^2+\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=c_2$$

La solución general de la EDP, expresada en forma implícita es : $$\Phi\left( \left((x^2+y^2)^{\alpha /2}u\right) \: , \: \left(x^2+\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right) \right)=0$$ donde $\Phi(X,Y)$ es cualquier función diferenciable de dos variables.

Resolviendo la ecuación implícita para $X$ conduce a la ecuación explícita : $(x^2+y^2)^{\alpha /2}u=F\left(x^2+\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \right)$

donde $F$ es cualquier función diferenciable.

$$u(x,y)=(x^2+y^2)^{-\alpha /2}F\left(x^2+\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \right)$$

Según la condición de contorno : $u(x,0)=x^2=(x^2)^{-\alpha /2}F\left(x^2\right) \quad\to\quad F(x^2)=(x^2)^{1+\frac{\alpha}{2}}$

$$u(x,y)=(x^2+y^2)^{-\alpha /2} \left(x^2+\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \right)^{1+\frac{\alpha}{2}}$$