Funciones suaves para las que $f(x)$ es racional si y sólo si $x$ es racional

Question

Un amigo me presentó la siguiente pregunta: ¿Existe una función suave $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , ( $f \in C^\infty$ ), de manera que $f$  mapea racionales a racionales e irracionales a irracionales y es no lineal?

He planteado esta pregunta anteriormente en math.stackexchange.com ( enlace a la pregunta ) donde recibió un interés considerable. Hasta ahora no ha habido respuesta, pero un comentarista sugirió traerlo aquí.

Resultados relacionados

• El amigo que me contó el problema ha podido comprobar que no polinomio satisface las condiciones condiciones requeridas.

• Si exigimos sólo eso $f \in C^1$ entonces podemos cortar y pegar la función $x \mapsto \frac{1}{x}$ para ofrecer un ejemplo no lineal: $$f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x-1} + 1, & x \le 0 \\\\ \frac{1}{x+1} - 1, & x \ge 0\end{cases}$$

Answer 1

Existen estas funciones. Además, cualquier difeomorfismo $f_0:\mathbb R\to\mathbb R$ puede ser aproximado por tal $f$ . Para simplificar, asumo que $f_0'\ge 2$ en todas partes.

Enumerar los racionales: $\mathbb Q=\{r_1,r_2,\dots\}$ y construir una secuencia $f_0,f_1,f_2,\dots$ de los autodifeomorfismos de $\mathbb R$ satisfaciendo lo siguiente:

• $f_{2k-1}(r_k)\in\mathbb Q$ y $f_n(r_k)$ es el mismo para todos los $n\ge 2k-1$

• $f_{2k}^{-1}(r_k)\in\mathbb Q$ y $f_n^{-1}(r_k)$ es el mismo para todos los $n\ge 2k$ .

• La primera $k$ derivadas de la diferencia $f_k-f_{k-1}$ están limitados por $2^{-k}$ en todas partes en $\mathbb R$ .

Tal secuencia tiene un límite $f$ sur $C^\infty$ y este límite es un difeomorfismo que satisface $f(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$ y $f^{-1}(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$ .

La secuencia $\{f_i\}$ se puede construir por inducción. Para construir $f_{2k-1}$ de $g:=f_{2k-2}$ Considera que $g(r_k)$ . Si es racional, que $f_{2k-1}=g$ . Si no, que $I$ sea un intervalo abierto que contenga $r_k$ y que no contenga ninguno de los puntos $r_i$ y $g^{-1}(r_i)$ para $i\le k-1$ . (Tenga en cuenta que $r_k$ se diferencia de estos puntos por el hecho de que $g(r_k)\notin\mathbb Q$ ). Entonces, defina $f_{2k-1}=g+\varepsilon\cdot h$ donde $h$ es su función suave favorita con el apoyo contenido en $I$ y tal que $h(r_k)\ne 0$ , $\varepsilon$ es tan pequeño que las estimaciones de las derivadas anteriores se mantienen y se elige de manera que $f_{2k-1}(r_k)\in\mathbb Q$ . Para construir $f_{2k}$ de $f_{2k-1}$ , hacer una perturbación similar cerca de la preimagen de $r_k$ , asumiendo que aún no es racional.

Answer 2

En la respuesta a este cerrar la pregunta He remarcado cómo hacer una función entera, no polinómica, biyectando dos conjuntos densos contables asignados $A$ y $B$ .

Además, se puede hacer un análisis no $C^\infty$ autodifusión de $\mathbb{R}$ que biyecta $A$ y $B$ con un procedimiento similar. Digamos que un $C^\infty$ diffeo, que no es el mapa de identidad, pero con una tangencia de orden infinito al mapa de identidad en $0$ .

Answer 3

¿Qué tal esto para ser explícito? Toma $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-\lfloor n/x \rfloor}$$ para $0 < x \leq 1$ y luego ampliarlo con $f(x) = \lfloor x \rfloor + f(x-\lfloor x \rfloor)$ .

Si $x$ es racional, entonces $f(x)$ se ve fácilmente que tiene una expansión binaria que se repite, y por lo tanto es racional. Si $x$ es irracional, entonces $f(x)$ se ve fácilmente que no tiene una expansión repetitiva, por lo que es irracional. Que $f$ es continua también es fácil, y también lo es el hecho de que $f$ es estrictamente creciente. También tiene la derivada 0 en casi todas partes.

Answer 4

Es cierto que dados dos subconjuntos densos cualesquiera $A,B\subset(0,1)$ existe una función absolutamente monótona $[0,1]\rightarrow[0,1]$ que lleva $A$ a $B$ . No conozco la prueba exacta de esto, pero la idea es muy sencilla: se enumeran los elementos de $A$ y $B$ y luego tomar el primer elemento de $A$ y asociarlo con un elemento apropiado de $B$ entonces el primer elemento de $B$ y asociarlo con un elemento apropiado de $A$ , entonces asocia el segundo elemento de $A$ a un elemento apropiado de $B$ etc.

Estoy bastante seguro de que alguna variación de esto debería funcionar para su problema.