"Animales" de Pach: ¿Y si el género es positivo?

Question

Janos Pach se hizo una profunda pregunta hace 23 años (1988) que sigue sin resolverse en la actualidad:

¿Puede cada animal -una bola topológica en $\mathbb{R^3}$ compuesto por cubos unitarios pegados cara a cara- puede reducirse a un solo cubo unitario añadiendo y suprimiendo cubos, manteniendo siempre la propiedad animal (bola)?

("Animal" era una acuñación aparentemente original de Janos). Mis alumnos y yo encontramos rápidamente animales irreductibles es decir, bolas de cubos unitarios de las que no se puede extraer ningún cubo sin destruir la propiedad de bola topológica. Aquí tenemos uno de los 119 cubos debidos a Tom Shermer (que he explotado verticalmente para su visualización):

Esencialmente todos nuestros ejemplos irreducibles se basan en Bing 's Casa con dos habitaciones (sin que lo supiéramos en ese momento). Por lo tanto, si la pregunta de Pach tiene una respuesta positiva, es necesario añadir cubos, así como eliminar. Esta historia se relata en la obra de Günter Ziegler Conferencias sobre Politopos Springer, 1995, p.276. Su no shellability El teorema 8.15 (p.243) se basa en estos irreducibles.

Así que, finalmente, llego a mi pregunta, que es esencialmente una cuestión de shellability :

Puede todo objeto (incrustado) construido pegando cubos unitarios cara a cara, independientemente del género ¿se puede reducir a un solo cubo unitario añadiendo y eliminando cubos, manteniendo siempre que la superficie es un 2manifold?

Esta es exactamente la pregunta de Pach, pero eliminando el requisito del balón. Todos los animales irreducibles que conozco se basan en la violación del requisito de la bola topológica para su irreductibilidad; así que es (remotamente) posible que la reducción por sí sola es suficiente (!). Estoy tentado de introducir un nuevo género para abarcar Plantae & Animalia pero me resisto.

Cualquier indicación que me lleve a la información sobre la generalización de la pregunta de Pach será muy apreciada. Gracias.

Adenda, 11 de mayo de 2011 ( publicación original del 2 de enero de 2011 ). El problema está ahora resuelto (positivamente): Todo animal puede reducirse añadiendo y eliminando cubos. La prueba está contenida en dos artículos, el segundo de los cuales apareció como informe técnico en mayo de 2010: "Una solución al problema de los animales", de Akira Nakamura. Aquí está el PDF . El primer artículo, un informe técnico anterior de 2006, se llama simplemente "Problema B", de Akira Nakamura, Kenichi Morita y Katsunobu Imai. Aquí está su PDF . Resumiría pero aún no entiendo los documentos, que se presentan en términos de "topología digital".

Answer 1

Respecto a la pregunta original de Pach: La casa de Bing trata la cuestión análoga de la colapsabilidad. Es un ejemplo de espacio contractible no colapsable. Para ese problema se sabe que si se permiten tanto colapsos como anticolapsos, todo espacio contraíble puede reducirse a un punto. Esto se deduce de " Teoría de la homotopía simple ". No sé si este resultado de la teoría de la homolopía simple se extiende a los animales construidos a partir de cubos, pero puede que sí.

La pregunta de género superior modificada parece más fácil ya que permite pasos que cambian la topología del animal.

Se puede hacer una pregunta más fuerte si cuando se fija el género g se puede pasar entre dos animales del género g por tales pasos. La pregunta análoga para la colapsabilidad parece estar relacionada con invariantes de homotopía simples de grupos de superficie, pero no sé cuáles son.