Enseñar a los estudiantes universitarios a escribir pruebas

Question

Según mi experiencia, existen aproximadamente dos enfoques para enseñar a los estudiantes universitarios (norteamericanos) a escribir pruebas:

1. Los estudiantes ven las pruebas en las clases y en los libros de texto, y las pruebas se explican cuando es necesario, por ejemplo, la primera vez que el profesor muestra una prueba por inducción a un grupo de estudiantes de primer año, se puede dar alguna explicación adicional de este método de prueba. Además, a los estudiantes se les plantean periódicamente problemas consistentes en auténticas preguntas matemáticas -por supuesto, no preguntas de nivel de investigación, pero sí buenas preguntas honestas- y se les da respuesta a sus pruebas. Esto empieza desde el primer día. El tema general es que todas las matemáticas que hacen estos estudiantes se basan en pruebas, y todas las pruebas que hacen son por el bien de las matemáticas, en contraste con:

2. Los estudiantes pasan la mayor parte de sus dos primeros años haciendo cálculos. Hacia el final de este periodo toman un curso cuyo objetivo principal es enseñar pruebas, por lo que estudian las pruebas para aprender a hacerlas, la comprensión de las matemáticas de las que tratan las pruebas es un objetivo secundario. Se les enseñan las tablas de verdad, las conectivas lógicas, los cuantificadores, la teoría de conjuntos básica (como las uniones y los complementos), las pruebas por contraposición, la contradicción y la inducción. Los dos años restantes consisten en matemáticas reales, como en el enfoque 1.

No voy a ocultar que estoy predispuesto a acercarme al 1. Por ejemplo, creo que en lugar de enseñar específicamente a los estudiantes sobre los complementos y las uniones, y darles pruebas sobre este tema, es más eficaz exponerlo a ellos temprano y a menudo, y esperar que lo capten por su cuenta o, al menos, esperar que busquen explicaciones de sus compañeros o profesores sin que nadie les diga que es el momento de aprender sobre las uniones y los complementos. Dicho esto, estoy realmente abierto a escuchar técnicas en la línea del enfoque 2 que sean efectivas. Así que mi pregunta es:

¿Qué técnicas orientadas específicamente a la enseñanza de la redacción de pruebas le han resultado eficaces según su experiencia?

EDITAR: Además de describir una técnica concreta, explique en qué sentido cree que es efectivo y qué experiencias de los suyos demuestran realmente esta eficacia.

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Thierry Zell señala que el enfoque 1 tiende a ocurrir cuando el plan de estudios separa a los estudiantes de matemáticas de los que no lo son, y el enfoque 2 tiende a ocurrir cuando los estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias se mezclan durante los dos primeros años para aprender la matemática computacional básica. Esto plantea una cuestión muy relacionada con mi pregunta original:

¿Puede ser efectivo que los estudiantes de matemáticas pasen algún tiempo tomando cursos de matemáticas computacionales, sin pruebas, junto con los que no son de matemáticas? Si es así, ¿en qué sentido puede ser efectivo y que experiencias de los suyos demuestran esta eficacia?

(Pregunta formulada originalmente por Amit Kumar Gupta)

Answer 1

Esta es una gran pregunta. De hecho, espero que la gente no piense que es demasiado dramática si la llamo una de las grandes preguntas de educación matemática de nuestro tiempo.

En la Universidad de Georgia, hemos decidido como departamento seguir el segundo enfoque: ofrecemos el curso Math 3200: Introducción a las matemáticas avanzadas . Este es uno de nuestros tres cursos de "transición", los otros son (Math 3000) álgebra lineal y (Math 3100) secuencias y series. Pero esto no quiere decir que el profesorado de aquí esté unánimemente entusiasmado con el enfoque dos: de hecho, he oído más disensiones que acuerdos entre el profesorado (mayoritariamente joven, por cierto) con el que he discutido el asunto.

Yo mismo he impartido este curso de Matemáticas 3200 dos veces en los últimos años: aquí está la página web de mi curso (no te emociones demasiado: sólo da una imagen muy limitada de lo que era el curso). Me quedé algo perplejo cuando impartí este curso por primera vez, ya que no es un curso que haya hecho nunca. Por ejemplo, dedicamos unas tres semanas del curso a la inducción matemática, un tema que aprendí en el instituto (más concretamente, lo aprendí durante un curso de verano de Álgebra II a ritmo propio que hice a través del programa CTY después de mi primer año de instituto. No fue hasta años después que empecé a entender que -en el sentido de que realmente leí, hice problemas y me examinaron de todo el libro de Álgebra II- en realidad aprendí bastante más de lo que tiene lugar en un curso real de Álgebra II incluso en mi (muy buen) instituto).

Y sí, el curso comenzó con un capítulo sobre lógica: tablas de verdad, contraposiciones, negación de afirmaciones, etc. Me sorprendió descubrir que muchos de mis colegas encontraban este material árido, sin sentido y difícil de enseñar. (Algunos de ellos incluso se mostraron incapaces de resolver fácilmente algunos de los problemas de lógica que aparecían en los exámenes posteriores. Creo que esto era una afectación, y curiosa). Pero, por mi parte, disfruté mucho impartiendo el curso y, desde luego, no me pareció una pérdida de tiempo: pasar, digamos, dos semanas estableciendo la lógica es un pequeño precio a pagar por poder esperar que los alumnos no confundan la conversa con el contrapositivo durante el resto de sus carreras. Y confieso que, de hecho, no lo encontré aburrido: Recuerdo que en un momento dado decidí dibujar una gran tabla con todas $2^{2^2}$ diferentes conectivos binarios y pedir a los estudiantes que den la descripción más sencilla que puedan para cada uno. Esto llevó la mayor parte de un período de clase, pero comparado con, por ejemplo, encontrar la tasa de cambio de la longitud de la sombra de un tipo en el instante en que está a 10 metros de una farola, fue muy divertido.

Creo que este curso fue muy útil para los estudiantes: es agradable tener un curso en el que uno puede pasar todo el tiempo que necesite concentrándose en los procesos y métodos de las pruebas en sí, en lugar de en demostrar teoremas particulares. (Lo que no quiere decir que no hayamos demostrado nada: había una unidad sobre divisibilidad y otra sobre aritmética modular, por ejemplo. Cuando he enseñado teoría de números en la licenciatura, asumo que los estudiantes han visto este material dos veces: en este curso, y luego de nuevo en el semestre requerido de álgebra abstracta, y realmente no lo cubro de nuevo). Además, había tiempo para concentrarse en las escribir en particular, y que Gauss me fulmine si la redacción no mejora de horrible a medianamente decente a lo largo del semestre.

Este curso no es apropiado ni útil para todos los estudiantes de matemáticas. Por ejemplo, ofrecemos una sección de Cálculo de Honores a la Spivak al año (tengo la suerte de impartir esta asignatura el año que viene: ¡un año libre de farolas!) y creo que los alumnos que lo hacen bien en esta asignatura aprenden todo lo que nos gustaría que aprendieran en la asignatura de transiciones Matemáticas 3200 y más. Pero para un cierto nivel de estudiante -un nivel que puede ser entrenado para hacerlo bien como estudiante de matemáticas- este curso funciona muy bien.

Añadido : después de releer la pregunta, quiero dejar claro que la respuesta larga anterior es no un argumento a favor de la opción 2. frente a la opción 1. La opción 1, es decir, incluir las pruebas en todas las clases de matemáticas de nivel universitario, presumiblemente de forma cada vez más sofisticada a medida que avanzan las clases, que según tengo entendido es la norma en la mayoría de los planes de estudios universitarios europeos, ni siquiera es una opción que esté sobre la mesa en mi universidad (y creo que en la mayoría de las universidades estadounidenses). (Yo estudié en la Universidad de Chicago, y fue sin duda una excepción a la regla. No sólo tuve clases que se concentraban entre principal y exclusivamente en las pruebas desde el principio, sino que, de hecho, todas las clases de cálculo allí insisten en tratar algunos aspectos teóricos, incluyendo alrededor de un mes de clase sobre pruebas épsilon-delta). Así pues, mi respuesta da por sentado que existe una transición de cursos casi exclusivamente computacionales a cursos más bien teóricos. Ante esto, la cuestión es si esta transición debe hacerse exclusivamente en el contexto de cursos basados en el contenido (por ejemplo, álgebra lineal con cuidadosas definiciones y pruebas), en el contexto de un curso de "introducción a las pruebas", o en ambos. En la UGA, nuestra respuesta es "ambos". Lo que digo es que, en mi opinión, el curso de "introducción a las pruebas" no es una pérdida de tiempo para los estudiantes. Otros opinan lo contrario.

Answer 2

He intentado enseñar pruebas durante años, y he tenido muchos problemas, tanto en cursos de "pruebas" como en cursos ordinarios. Lo difícil para mí era conseguir que el alumno pensara en el significado de los enunciados, y en por qué los enunciados se implicaban entre sí, en lugar de limitarse a memorizar una secuencia de pasos. A menudo los matemáticos no nos damos cuenta de que estamos dejando fuera observaciones que son lógicamente esenciales, porque sabemos cómo rellenarlas.

Los alumnos "aprenden" mucho más fácilmente a repetir incluso pruebas largas que no revelan ningún razonamiento, que a dar incluso argumentos cortos que lo requieran. Por ejemplo, la mayoría de los estudiantes pueden aprender fácilmente la secuencia de pasos que pretenden demostrar la regla del producto en el cálculo. Pero un examen rápido incluso de muchos de los mejores libros mostrará que la lógica de la demostración no queda clara ni siquiera por el autor.

Por ejemplo, la prueba suele comenzar con el cociente de la diferencia del producto, y la palabra "límite" delante de él, y luego manipula el cociente de la diferencia hasta que se separa en los dos límites separados apropiados. No se menciona el hecho de que el límite que se da por supuesto en la primera parte de la discusión no se sabe que existe hasta el final. Por lo tanto, la prueba debería realizarse correctamente sólo con el cociente de diferencias y no con el límite del mismo, o bien debería indicarse que la palabra "límite" no se justifica hasta el final del argumento, leyendo al revés. Esta laguna lógica se da incluso en el magnífico libro de Spivak, (pero no en el de Apostol).

Es decir, los alumnos pueden aprender a derivar la fórmula, pero no aprecian siquiera la necesidad de demostrar que la derivada del producto existe realmente.

Del mismo modo, los estudiantes de álgebra "aprenden" a dar la prueba del teorema de las raíces racionales, simplemente multiplicando los denominadores, pero en el mínimo paso, cuando hay que usar algunas palabras para justificar una declaración de divisibilidad, (las potencias de los números relativamente primos siguen siendo relativamente primos), lo pasan por alto. Tienen muchos más problemas con la irracionalidad de una raíz cuadrada, porque se necesita más justificación. He tenido estudiantes de teoría de números que han aprendido la prueba elemental de que sqrt(2) es irracional, mostrando primero que un número entero es par si su cuadrado lo es, y sin embargo no son capaces de extenderla a sqrt(3).

Una vez me di cuenta de que, dado que los polinomios son "simétricos" en cierto sentido, la prueba inversa del criterio de Eisenstein daría lugar a una prueba del criterio inverso, donde p^2 no divide el coeficiente principal en lugar del término constante. Sólo uno de una clase de más de 30 estudiantes de álgebra abstracta estuvo dispuesto a intentar este problema de desafío, y ese nunca lo consiguió, incluso con varios días de pistas por correo electrónico. Si un estudiante no puede dar esta prueba inversa pero por lo demás idéntica, ¿cuánto entiende de la prueba original?

Esto me sugiere que las pruebas que implican palabras son cruciales para el aprendizaje del razonamiento, y hay que tener mucho cuidado de no asumir que una secuencia de símbolos correctos implica la comprensión de la lógica. Me encantaría poder asistir al curso de Pete y observar cómo lo maneja.

No me impresionan demasiado la mayoría de los libros que enseñan las pruebas. A menudo parece que el autor va por las ramas y no piensa en las consecuencias de sus afirmaciones. En uno que recibí, discutían los límites y los límites mínimos superiores y afirmaban que era obvio que los números naturales son un conjunto no limitado de reales sin relacionar los dos conceptos. Luego, más tarde, hicieron un gran esfuerzo por demostrar la propiedad arquimédica para los reales, pero sin relacionarla con la anterior afirmación equivalente pero injustificada sobre los números naturales. Esto socava la fe de un buen estudiante en la importancia del tema.

Me inicié primero en el instituto, en un breve curso de cálculo proposicional, y luego en un curso tipo Spivak en Harvard, de Tate, donde los deberes eran todo pruebas. Luego vinieron Birkhoff y Maclane, y finalmente Loomis y Gluck lo reforzaron con un uso muy claro de los cuantificadores en las clases de análisis real y ecuaciones diferenciales. En 1960 no había cursos de "pruebas" en Harvard.

Estoy 100% de acuerdo con el que preguntaba cómo se podía esperar que los alumnos hubieran entendido los dos primeros años de matemáticas sin ver la lógica hasta el tercer año. Me encantaría que esa asignatura se trasladara mucho antes. Tenerla en el instituto fue genial para mí. Y también viví antes de que se eliminaran las pruebas de la geometría en el instituto.

Answer 3

En cuanto a los diferentes sabores del enfoque 1, he aquí algunas palabras de Halmos .

He impartido cursos cuyo contenido completo eran problemas resueltos por los alumnos (y luego presentados a la clase). El número de teoremas a los que se exponía a los estudiantes en un curso de este tipo era aproximadamente la mitad del número al que podrían haber sido expuestos en una serie de clases. En un curso de problemas, sin embargo, la exposición significa la adquisición de una actitud inteligente de cuestionamiento y de alguna técnica para tapar las fugas que las pruebas pueden provocar; en un curso de conferencias, la exposición a veces no significa mucho más que aprender el nombre de un teorema, sentirse intimidado por su complicada demostración y preocuparse por si aparecerá en el examen.

Muchos profesores están preocupados por la ... cantidad de material que deben cubrir en un curso. Un cínico sugirió una fórmula: dado que, según él, los estudiantes sólo recuerdan por término medio el 40% de lo que se les dice, lo que hay que hacer es meter en cada curso el 250% de lo que se espera que quede. Por muy simplista que sea, probablemente no funcione.

Los cursos problemáticos sí funcionan. Los estudiantes que han tomado mis cursos de problemas a menudo han sido felicitados por sus profesores posteriores. Los elogios se referían a su actitud despierta, a su capacidad para llegar rápidamente al meollo de la cuestión y a sus preguntas inteligentes que demostraban que entendían lo que estaba ocurriendo en clase. Todo esto ocurría en más de un nivel, en el cálculo, en el álgebra lineal, en la teoría de conjuntos y, por supuesto, en los cursos de posgrado sobre teoría de la medida y análisis funcional.

Answer 4

Impartí un curso de cuarto semestre llamado "Introducción al análisis", en el que examinamos el cálculo diferencial por segunda vez, haciendo hincapié en los fundamentos, la estructura lógica y la demostración de todos los teoremas clave. Utilizamos el excelente libro de Stephen Abbott, Comprender el análisis .

El curso estaba destinado principalmente a los estudiantes de matemáticas, aunque tuvimos algunos estudiantes interesados de otros programas. Como teníamos entre 8 y 12 alumnos cada vez que impartía el curso, pensé que sería una pena dar una conferencia. Así que impartí el curso como un seminario. Daba una breve conferencia al principio y al final de cada capítulo, y luego asignaba problemas del libro de texto, para los que los estudiantes tenían que presentar soluciones en clase. Me sentaba al final de la clase y observaba los debates que tenían lugar después de las presentaciones. Normalmente, si se cometía un error en una demostración, los alumnos no se daban cuenta de inmediato. En su lugar, alguien preguntaba: "¿Podría explicar de nuevo cómo ha llegado de la línea 3 a la línea 4?" o alguna pregunta similar. El presentador suele esforzarse por explicar el punto, y en pocos minutos todo el mundo se da cuenta de que hay algo que falla. Si el grupo podía arreglar la prueba en el momento, estupendo. Si no, les mandaba a paseo, a veces con una pista, con la tarea de arreglarlo y presentarlo de nuevo la próxima vez.

Mientras se discutieran todos los puntos que yo quería que se discutieran, me quedaría callado. Por supuesto, si no se planteaban todos los puntos relevantes, hacía preguntas para que la clase avanzara en la dirección que yo quería.

Los comentarios que recibí de los estudiantes fueron interesantes. Me dijeron que era mucho más trabajo que una clase normal, pero que también aprendieron mucho más que en una clase normal. Creo que esto tiene implicaciones para toda la educación... es una razón clave por la que dar clases a 500 estudiantes es en gran medida ineficaz, por muy brillante que sea el conferenciante. Tomé este comentario como prueba de que este método de enseñanza de las pruebas puede ser eficaz.

En segundo lugar, un comentario sobre los libros de texto de cálculo/análisis: la inmensa mayoría de ellos no proporcionan ninguna formación sobre el tipo de pensamiento necesario para crear pruebas. (Esta es la razón por la que los comentaristas se remiten a libros especializados (Polya es estupendo, al igual que Pruebas y refutaciones de Imre Lakatos), no textos de cálculo estándar). Se limitan a ofrecer productos acabados, a menudo de forma muy escueta, sin tener en cuenta la reflexión que conlleva la elaboración de una demostración. El libro de Abbott es un bonito contraejemplo. A un nivel superior (para el análisis, en cualquier caso), el libro de T.W. Korner Un compañero de análisis es hermoso. Las primeras páginas de este libro motivan enormemente la necesidad de demostrar teoremas aparentemente obvios.

Lo que quiero decir es que los escritores de libros de texto estándar pueden aprender mucho sobre cómo hacer que las secciones sobre pruebas sean mucho más eficaces. Parte del problema es que los editores quieren complacer a todo el mundo, para maximizar los beneficios, y por eso restringen fuertemente el número de páginas al tiempo que intentan atiborrar todo el contenido posible. Al igual que en las aulas, atiborrar el máximo contenido posible es contraproducente para una buena enseñanza y aprendizaje.

Answer 5

Como licenciada, no tengo experiencia en la vertiente docente de esta pregunta, por lo que es posible que no pueda responderla adecuadamente. Sin embargo, sí que me siento muy identificado con la opción (1) debido a mis propias experiencias, así que las mencionaré rápidamente ya que puede ser de alguna utilidad:

En mi instituto hacíamos muy pocas pruebas. Hice cálculo AP, que sí me gustó, pero no en la misma medida que la física. Antes de la universidad no tenía intención de dedicarme a las matemáticas, sobre todo por varias visiones mal concebidas de lo que eran en realidad.

Sin embargo, en el primer año, las cosas cambiaron mucho. Mi curso de honores estaba completamente basado en pruebas, y se nos enseñaba el cálculo de forma rigurosa. También había una sesión semanal de resolución de problemas (Putnam) en la que se hacía hincapié en mejorar la demostración. Más adelante, me di cuenta de que quería aprender más, así que cogí el Rudin 3E y empecé a leerlo. La cadena de acontecimientos que siguieron durante el año siguiente me hizo decidirme a hacer una carrera de matemáticas (sobre todo mi proyecto de verano). Recuerdo que sentí que "nunca había visto las matemáticas antes", porque demostrar cosas en Análisis y Álgebra (por muy básicas que sean) requiere un estilo de pensamiento muy diferente.

De todos modos el punto al que estoy tratando de llegar es que si en mi primer año no hubiéramos hecho ninguna prueba, no hubiera solicitado trabajar en matemáticas durante el verano, ni hubiera tenido el deseo de leer sobre ello por mi cuenta. Probablemente ahora no estaría haciendo una carrera de matemáticas con honores (probablemente sea ingeniería o física).

Personalmente he encontrado una tendencia, cuanto más alto es el nivel del curso, más estético es el material. Entonces, ¿cómo puede la gente querer dedicarse a las matemáticas si no ha visto las verdaderas razones por las que la gente se dedica a ello?

(y las razones realmente bonitas también)