Primero: zanja A y B. Sus nombres son ahora Unprimed y Primed.
Así que Unprime está en la plataforma en el marco $S$ y Prime está en el tren que viene en el cuadro $S'$ , moviéndose a $\beta=\sqrt{3}/2$ ( $\gamma = \frac 1 2$ ) en el $x$ dirección.
"Unprime" tiene dos eventos: iniciar un cronómetro en:
$$ E_0 = (t_0=0, x_0=0) $$
y detenerlo $T=32$ segundos este último en:
$$ E_3 = (t_3=T, x_3=0) $$
La diferencia horaria es, como es lógico:
$$ \Delta t = t_3-t_0 = (T-0) = 32s $$
En el marco de referencia de Prime:
$$ E_0 = (t'_0=0,x'_0=0) $$ $$ E_3 = (\gamma[t_3-\beta x_3], \gamma[x_3-\beta t_3])$$ $$ = (\gamma T, -\gamma\beta T) $$
Así, Prime dice que el tiempo entre eventos es:
$$ \Delta t' = t'_3-t'_0 = \gamma T = 64s $$
Por lo tanto: Prime dice que el reloj de Unprime va más lento.
Ahora supongamos que Prime también tenía un cronómetro en funcionamiento para $T=32$ segundos. La salida es el mismo evento que la salida de Unprime:
$$E_0 = (t'_0 = 0, x'_0 = 0) $$
mientras que el evento de parada se produce en:
$$ E_2 = (t'_2=T, x'_2=0) $$
Por supuesto, la diferencia horaria lo es:
$$\Delta t' = t'_2 - t'_0 = T = 32 s $$
¿Cómo se ve esto en el marco de Unprimes? Sabemos que $E_0$ pero necesitamos usar la inversa de la transformada de Lorentz que usamos antes para transformar $E_2$ a $S$ :
$$ E_2 =(\gamma[t'_2 + \beta x'_2], \gamma[x'_2+\beta t'_2]) $$
$$ =(\gamma T, \gamma\beta T) $$
para que:
$$ \Delta t = \gamma (t'_2-t'_0) = \gamma T = 64s $$
y ahora Unprime dice que el reloj de Prime va más lento.
Esto parece paradójico al principio, pero se resuelve con el hecho de que el cronómetro de Unprimes se detiene en $x=0$ , mientras que el cronómetro de Primes se detiene en $x'=0$ o $x=+55$ segundos-luz ( $ls$ ), y no hay manera de definir "simultáneo" a través de 55 segundos luz.
Podemos asignar un evento al momento en que Unprime dice que Prime ha parado su reloj, llamarlo $E_1$ . Tenemos en S que:
$$ E_2 = (\gamma T, \gamma\beta T) = (64\,s, 55\,ls)$$
El evento de Unprimed diciendo que el reloj de Prime se ha parado ocurre simultáneamente en el origen de Unprime:
$$ E_1 = (\gamma T, 0) $$
Si transformamos esto en $S'$ ese acontecimiento se produce en $t'=\gamma^2 T$ Así que Prime detiene su reloj a los 32s, lo que Unprime dice que ocurrió después de 64 segundos, mientras que Prime dice que Unprimed dijo que detuvo su reloj después de 128 segundos. Igualmente en la otra dirección, Unprimed dice que Prime pensó que el reloj de Unprimed se detuvo después de 8 segundos.
Es la relatividad de la simultaneidad la que permite que cada fotograma vea que el reloj del otro se mueve más lentamente.
Ahora bien, la idea de que no puedes moverte en relación con el espacio es buena:
- No existe un marco de reposo absoluto.
- La velocidad de la luz es siempre $c$ en todas las direcciones.
Así que no importa lo rápido que te muevas, el espacio se ve igual. Hay un campo electromagnético global con $\vec E=0$ y $\vec B=0$ y cualquier perturbación en ese campo se propaga a:
$$ c = \frac 1 {\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$$
(y por supuesto, las cargas y las corrientes se ven "igual" en el laboratorio a través de $\epsilon_0$ y $\mu_0$ ).
Además, podríamos añadir una tercera trama, Doubleprime, en el tren de salida, que se mueve a $\beta'' = -\frac{\sqrt 3} 2 $ y descubre que los otros relojes se mueven más lentamente, mientras que Unprime dice que se mueve a la misma velocidad que Prime.
