¿Qué es la matemática realista?

Question

Este post trata en parte de opiniones y en parte de cuestiones matemáticas más precisas. La mayor parte de este post no es tan formal como una pregunta matemática precisa. Sin embargo, espero que la mayoría de los lectores entiendan este post y la naturaleza de la pregunta.

Primero trataré de explicar lo que yo llamaría Matemáticas realistas . Digamos que las matemáticas consisten en la formalización, organización y expresión del pensamiento. Al mismo tiempo, uno podría tener la sensación de que el pensamiento suele intentar captar algún aspecto de la realidad física; y que eso sea cualquier cosa, desde una sensación, una impresión de algo, hasta los datos experimentales de un experimento, o las propiedades geométricas observadas de líneas y puntos en un espacio bidimensional. Por supuesto, el pensamiento en sí mismo (tal y como se ha descrito anteriormente) puede referirse a cualquier cosa y, por lo tanto, cualquier cosa axiomatizable podría considerarse como matemática (ese es el punto de vista de David Hilbert). Por otro lado, si el pensamiento se refiere principalmente a la realidad física, el enfoque de las matemáticas debería ser más restrictivo. (Recuerdo que Arnold argumentó a favor de este punto de vista; también von Neumann.) Llamemos a esta parte restringida de las matemáticas por el momento Matemáticas realistas . No estoy diciendo que tal restricción del enfoque sea buena o necesaria; y no quiero iniciar una discusión al respecto. Sólo quiero averiguar y discutir, si los matemáticos podrían ponerse de acuerdo sobre lo que podríamos llamar Matemáticas realistas . Supongamos por un momento que hemos dado algún sentido al concepto de Matemáticas realistas y observó que es una ciencia que trata de alguna parte o aspecto de la realidad física. Mi pregunta ingenua es ahora:

Pregunta: ¿Qué es? Matemáticas realistas desde una perspectiva matemática (o de teoría de modelos)?

o

Pregunta: ¿Existe alguna estructura matemática que sirva para la parte de las matemáticas que se refiere a la realidad física?

Por poner algunos ejemplos: Considero que todo lo relacionado con la geometría de dimensiones finitas (colectores, complejos simpliciales, conjuntos convexos, etc.), la teoría de los números, los operadores o álgebras de operadores sobre espacios de Hilbert separables, las ecuaciones diferenciales, la geometría discreta, la combinatoria (bajo supuestos de contabilidad), etc., forma parte de la realidad física observada o es potencialmente útil para el estudio de la realidad física. Por otro lado, la existencia de grandes cardinales, subconjuntos no medibles de los reales, etc. no son útiles (inmediatamente) para dicho estudio. En particular, mi opinión es que el axioma de elección no aporta nada a la comprensión de la realidad física. Produce afirmaciones altamente contraintuitivas (no observadas en la naturaleza) sobre subconjuntos del espacio euclidiano finito y tiene sus méritos (en Matemáticas realistas ) sólo a través de pruebas cortas y el conocimiento de que muchas afirmaciones son demostrables en ZFC si y sólo si son demostrables con más realista supuestos).

¿Qué pasa con $L(R)$ ? (Ver Wikipedia para las definiciones). Eso sería un modelo concreto y quizás un matemático realista sólo estudie propiedades de $L(R)$ ? Tal vez un matemático realista estudie lo que se puede demostrar utilizando $ZF + DC$ ? ¿Hay algún otro candidato canónico que surja? Mi pregunta se refiere principalmente a las opiniones o a algún tipo de visión que explique por qué surge naturalmente tal o cual modelo u objeto de estudio.

Pregunta: ¿Existe alguna aplicación matemática al estudio de la realidad física que no sea captada por el estudio del modelo $L(R)$ ?

Más concretamente: ¿Qué pasa con los enunciados concretos que son indecidibles en $ZF$ ? ¿Pertenece la Hipótesis del Continuo a las afirmaciones que queremos que sean verdaderas en la Matemática Realista? ¿Y el axioma de los colores abiertos? Aquí también pido opiniones o alguna perspectiva consistente sobre la parte realista de las matemáticas que recoja mi forma imprecisa de describirla.

Answer 1

Cuando Solovay demostró que ZF + DC + "todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue" es consistente (asumiendo que ZFC + "hay un cardinal inaccesible" es consistente), hubo una expectativa entre los teóricos de conjuntos de que los analistas (y otros que hacen lo que usted llama matemáticas realistas) adoptarían ZF + DC + "todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue" como su marco fundacional preferido. Ya no habría que preocuparse por fenómenos "patológicos" (como la paradoja de Banach-Tarski), ni por la tediosa comprobación de que alguna función es medible para aplicar el teorema de Fubini, ni por otros dolores de cabeza diversos. Pero esa expectativa no se cumplió en absoluto; los analistas siguen trabajando en ZFC. ¿Por qué? No lo sé, pero puedo imaginar tres razones.

En primer lugar, el axioma de elección es claramente cierto para el significado (actual) de "conjunto". El modelo de Solovay consiste en ciertos conjuntos "definibles". Aunque hay una flexibilidad considerable en este tipo de definibilidad (por ejemplo, cualquier secuencia contable de números ordinales puede utilizarse como parámetro en una definición de este tipo), sigue sin ser tan natural como la noción general de "conjunto arbitrario". Así que, al adoptar el nuevo marco, la gente se estaría comprometiendo con una noción limitada de conjunto, y eso bien podría producir cierta incomodidad.

En segundo lugar, es importante que la teoría de Solovay, aunque no incluye el axioma completo de la elección, sí incluye el axioma de la elección dependiente (DC). Gran parte del análisis (no patológico) se basa en el DC o, al menos, en el axioma (más débil) de la elección contable. (Por ejemplo, la aditividad contable de la medida de Lebesgue no es demostrable en ZF solo). Así pues, para trabajar en la teoría de Solovay, habría que tener en cuenta la distinción entre los usos "buenos" de la elección (elección contable o DC) y los usos "malos" (del tipo de la construcción de conjuntos de Vitali o la paradoja de Banach-Tarski). La distinción es bastante clara para los teóricos de conjuntos pero es posible que los analistas no quieran acercarse a esas sutilezas.

En tercer lugar, en ZF + DC + "todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue", se carece de algunos teoremas que gustan a los analistas, por ejemplo el teorema de Tychonoff (incluso para espacios compactos de Hausdorff, donde es más débil que la elección completa). Sospecho (aunque no lo he estudiado realmente) que los usos particulares del teorema de Tychonoff necesarios en la "matemática realista" pueden ser demostrables en ZF + DC + "todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue" (o incluso sólo en ZF + DC). Pero, de nuevo, los analistas pueden sentirse incómodos con la necesidad de distinguir los casos "disponibles" del teorema de Tychonoff de los casos más generales.

La conclusión parece ser que hay una manera razonable de hacer matemáticas realistas sin el axioma de elección, pero adoptarlo requeriría algo de trabajo, y la gente generalmente no ha estado dispuesta a hacer ese trabajo.

Answer 2

Creo que tienes que ser más claro sobre la utilidad directa que necesitas que tengan tus conceptos matemáticos para el estudio del mundo real. Por ejemplo, supongamos que encuentras las EDP útiles para modelizar fenómenos físicos, ciertos espacios de Banach concretos útiles para estudiar las EDP, y la teoría abstracta de los espacios de Banach útil para entender los concretos, entonces tendrás que permitir el teorema de Hahn-Banach, ya que es innegablemente útil en la teoría abstracta de los espacios de Banach. El teorema de Hahn-Banach es ligeramente más débil que el axioma de elección, pero la demostración habitual de éste utiliza el axioma de elección. ¿Hace eso que el axioma de elección sea realista después de todo?

En la otra dirección, se podría decir que incluso los enteros positivos muy grandes no son realistas. Por ejemplo, el número 123871205412470874297947938271423698765734564756028492656 no tiene ningún papel directo en la física.

Por este tipo de razones, creo que puede ser muy difícil llegar a una caracterización precisa de las matemáticas realistas, pero me interesaría ver algunos intentos.

Answer 3

Por otro lado, la existencia de grandes cardinales, subconjuntos no medibles de los reales, etc. no son útiles (inmediatamente) para dicho estudio.

No sé si los subconjuntos no medibles, pero los cardinales grandes son definitivamente útiles para la matemática aplicada ordinaria del tipo que yo hago (informática teórica). La razón es doble.

En primer lugar, diseño lenguajes de programación, y los lenguajes de programación modernos son teorías de tipos, por lo que las afirmaciones sobre si todos los programas de un determinado lenguaje son totales o no pueden reducirse a afirmaciones sobre la existencia de grandes cardinales. Desde el punto de vista meta-matemático, este es un punto trivial, pero a menudo la gente no ve inmediatamente que los cardinales grandes equivalen a hechos sobre la terminación de los programas de ordenador.

En segundo lugar, necesitamos cosas como las categorías de funtores para organizar la semántica de los lenguajes de programación, que requieren axiomas cardinales grandes (débiles). He aquí un ejemplo sencillo.

En un lenguaje como Java, la ejecución de un programa puede crear objetos que viven en la memoria del ordenador. Sin embargo, aunque la memoria concreta está direccionada por enteros, Java sólo permite comprobar si dos objetos son iguales o no, y no permite comparar objetos por su posición relativa en el espacio de direcciones. Por lo tanto, cuando se le da una semántica a un lenguaje de este tipo, queremos asegurarnos de que el significado de un programa es invariable bajo permutaciones del espacio de direcciones (es decir, se pueden mover los objetos de un lado a otro, sin cambiar el comportamiento observable del programa).

Un enfoque de este problema (inventado por Stark y Pitts) es dar la semántica en términos de categorías de funtores. Para modelar este asunto de las permutaciones, empezamos con la categoría $I$ de conjuntos finitos y mapas inyectivos. La idea es que cada objeto de la categoría es un conjunto de lugares, y una inyección te da un mapa que renombra algunos lugares y asigna otros. Entonces, modelas los tipos de tu lenguaje de programación como presheaves sobre $I$ y modelar los programas como transformaciones naturales entre los funtores $[I^\mathrm{op}, \mathrm{Set}]$ . De este modo, la semántica no puede hablar ni siquiera de elementos mal comportados que no respeten el invariante, ya que toda denotación es por construcción natural.

Puede preguntar si esto es necesario y, por supuesto, no lo es: podríamos utilizar una simple relación de transición para modelar la semántica. El problema es que esto no tiene sentido. El propósito de la semántica es hacer que fácil para razonar sobre nuestros programas, y para ello queremos trabajar de una manera en la que las propiedades que queremos utilizar "vengan gratis" en lugar de ser empujadas laboriosamente a través de cada prueba que pueda involucrarlas.

Answer 4

¿Puedo dar una respuesta humorística? A algunos les parecerá que expresa una visión realista de las matemáticas. Es de V.I. Arnold, y la encontré en MATHEMATICS: FRONTERAS Y PERSPECTIVAS, p. 403:

Todas las matemáticas se dividen en tres partes: criptografía (pagada por la CIA, KGB y similares), hidrodinámica (apoyada por los fabricantes de submarinos atómicos submarinos atómicos) y la mecánica celeste (financiada por los militares y otras instituciones relacionadas con los misiles, como la NASA).

Answer 5

¿Hay algún otro candidato canónico que surja? Mi pregunta aquí se refiere principalmente a las opiniones o a algún tipo de visión que explique por qué surge naturalmente tal o cual modelo u objeto de estudio.

Me sorprende que nadie haya mencionado los siguientes dos candidatos "canónicos" a la "matemática realista":

1) ZF+AD ( el Axioma de Determinación ). Esto demuestra la DC (pero refuta la AC completa) y que todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue; una ventaja sobre el modelo de Solovay (véase la respuesta de Andreas Blass más arriba) y sobre $L(\Bbb R)$ es que la EA es bastante fácil de enunciar y puede considerarse hasta cierto punto como un principio filosófico. ZF+AD también tiene otras consecuencias plausibles, incluyendo la Hipótesis del Continuo en su formulación original (todo subconjunto incontable de los reales tiene cardinalidad continua) y por otro lado que el continuo no es bien ordenable. La teoría descriptiva de conjuntos tiene muchos resultados "bonitos" demostrados bajo AD o bajo un axioma más débil PD (Determinación Proyectiva) que no contradice la AC completa. Con reciente trabajo de Woodin, la forma "políticamente correcta" ZFC+PD de la teoría original ZF+AD parece estar ganando una importancia considerable en la teoría de conjuntos. AD implica la consistencia de ZF (por lo que ZF+AD es sustancialmente más fuerte que ZF), pero por otro lado ZF+AD es consistente en relación con ZF + un axioma cardinal grande (de hecho, $L(\Bbb R)$ satisface a AD módulo este axioma).

2) Teorías de conjuntos positivos . Una intuición para la "matemática realista", que también recuerda a $L(\Bbb R)$ , podría ser que todos los conjuntos tuvieran algo que ver con el continuo, en la medida en que no son definibles en términos puramente lógicos. Una intuición más específica, que también recuerda a AD, podría ser que todos los conjuntos deberían tener algo que ver con una topología (o una estructura uniforme).

En una teoría de conjuntos positiva, los "conjuntos" se consideran subconjuntos cerrados de algún espacio, y los subconjuntos no cerrados son las "clases propias". Los subconjuntos discretos pueden identificarse con un modelo de ZFC. El complemento de un conjunto es una clase (posiblemente propia; de ahí viene lo de "positiva"), y el cierre (con respecto a la topología) de cada clase es un conjunto. Así que las clases no son "más grandes" que los conjuntos, algo inesperado. La clase de Russel $\{x\mid x\notin x\}$ es una clase propia cuyo complemento es un conjunto, $\{x\mid x\in x\}$ . Me parece que esta explicación topológica de clases adecuadas y la paradoja de Russel bastante convincente.

Para una introducción a las teorías de conjuntos positivos, véase el estudio notas por Holmes que, en particular, explica cómo obtener un modelo de dicha teoría mediante el colapso de una teoría de tipos. Existe una variedad de teorías de conjuntos positivos; al menos una de ellas es equiconsistente con una ZFC de segundo orden (teoría Kelley-Morse-Tarski con elección).

En las teorías tipo ZF, los conjuntos (por ejemplo, los del universo constructivo de Goedel $L$ ) se despliegan en un forma que recuerda a los límites directos (=límites), empezando por un objeto inicial, $\emptyset$ . En las teorías de conjuntos positivas, existe el conjunto universal, y el desdoblamiento de los conjuntos es más bien en el espíritu de los límites inversos (=límites). Aquí está la descripción de Hinnion (del capítulo "Alternative Set Theories" en este libro) de un modelo (creo que es este modelo que también se conoce como el " $\omega$ -hiperuniverso") de una teoría de conjuntos positiva.

  

En conclusión, permítanme citar esto revisar por R. Holmes de un documento de R. Hinnion:

En este trabajo, el autor introduce un método general para convertir una estructura de primer orden arbitraria en un espacio uniforme, y estudia la noción resultante de terminación de Cauchy de una estructura de primer orden. Se trata de una generalización de las construcciones utilizadas para construir modelos de teorías de conjuntos positivos.

El artículo en sí (así como su fe de erratas) no parece fácil de encontrar en las bibliotecas, pero la construcción debe ser similar, si no igual, a la de un artículo anterior (¿o más bien posterior?) papel por Hinnion.