Hubble cuando la Ley escrita en esta forma,
$$
v = H_0D,
$$
significa: si $D$ es la actual distancia de una galaxia, y $H_0$ la constante de Hubble, a continuación, $v$ es la actual velocidad de recesión de las galaxias. Por lo que le dice lo que la velocidad de recesión de una galaxia es de ahora, no de lo que era en el pasado.
Básicamente, la Ley de Hubble es una consecuencia del principio cosmológico, es decir, que el universo a grandes escalas es isotrópico y homogéneo. Esto significa que la expansión del universo puede ser descrito por una única función de tiempo, el llamado factor de escala $a(t)$, de modo que la distancia a una lejana galaxia aumenta con el tiempo como
$$
D(t) = a(t)D_c,
$$
donde $D_c$ es una constante, llamada el co-movimiento de la distancia a la galaxia; $D(t)$ se conoce como su distancia adecuada. También, el valor actual de $a(t)$ es 1 por convención, es decir,$a(t_0)=1$, por lo que el $D(t_0) = D_c$.
Si tomamos la derivada, entonces
$$
v(t) = \dot{D}(t) = \dot{a}(t)D_c = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}D(t) = H(t)D(t),
$$
con $v(t)$ llama la velocidad de recesión y $H(t)=\dot{a}/a$ el parámetro de Hubble. Esta es la versión general de Hubble de la Ley en el tiempo cosmológico $t$, que en el día de hoy toma la forma familiar
$$
v = H_0D,
$$
donde $v=v(t_0)$, $H_0=H(t_0)$ y $D=D(t_0)$. Pero en esta forma, la Ley de Hubble no es muy útil: es puramente teórica de la relación, debido a que la velocidad de recesión de una galaxia no pueden ser observadas directamente, tampoco dice nada acerca de la expansión del universo en el pasado. Sólo nos dice cómo la velocidad de una galaxia es de pasar de nosotros ahora mismo, si usted sabe que su distancia actual.
Sin embargo, hay una relativa cantidad que nos puede observar, a saber, el redshift $z$ de una galaxia, que es el cambio en la longitud de onda de sus fotones que viajan a través de la expansión del espacio:
$$
1 + z = \frac{\lambda_\text{ob}}{\lambda_\text{em}},
$$
con $\lambda_\text{em}$, $\lambda_\text{ob}$ la emisión y la longitud de onda observada respectivamente.
A diferencia de la velocidad de recesión, el corrimiento hacia el rojo no nos dan la información sobre el pasado, debido a que el desplazamiento al rojo de un fotón se acumula a lo largo del tiempo, durante su recorrido desde el origen de la galaxia para nosotros. Mediante la comparación de los desplazamientos al rojo de dos galaxias, podemos deducir información acerca de la tasa de expansión en el pasado: supongamos que observamos dos galaxias a distancias $D_1 > D_2$ y los desplazamientos al rojo $z_1 > z_2$, que emite su luz, a veces $t_1$, $t_2$ respectivamente. A continuación, la diferencia en redshift $z_1-z_2$ le dirá lo mucho que el universo se expandió en el intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$.
En otras palabras, si la expansión del universo se desacelera, vemos que el desplazamiento al rojo de galaxias distantes acumulado una gran cantidad en el pasado distante, cuando la tasa de expansión del universo fue alta. Sin embargo, las observaciones mostraron que la expansión del universo se ha reducido y, a continuación, comenzó a acelerar de nuevo (la transición de la desaceleración de la aceleración se produjo cuando el universo tenía alrededor de 7.7 millones de años). Esto significa que hubo un tiempo cuando la tasa de expansión fue como mínimo, durante el cual el desplazamiento hacia el rojo de los fotones aumento de menos.
La relación entre el $v$ $z$ es determinado por el modelo cosmológico. En el Modelo Estándar, se puede demostrar que la observación de la versión de la Ley de Hubble se parece a esto:
$$
H_0D = c\int_0^z\frac{\text{d}z'}{\sqrt{\Omega_{R,0}(1+z')^4 + \Omega_{M,0}(1+z')^3 + \Omega_{K,0}(1+z')^2 + \Omega_{\Lambda,0}}},
$$
donde $\Omega_{R,0}$, $\Omega_{M,0}$ y $\Omega_{\Lambda,0}$ son la fracción de la radiación, la materia y la energía oscura en el actual universo, y $\Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{R,0} - \Omega_{M,0} -\Omega_{\Lambda,0}$ describe la curvatura del espacio.
Las primeras observaciones y la inflación de los modelos sugiere que la curvatura del espacio es cercano a cero, lo que significaría que $\Omega_{M,0}\approx 1$ si no hay energía oscura (la contribución de la radiación es despreciable). Por otro lado, los estudios dinámicos de los cúmulos de galaxias se indica que el $\Omega_{M,0}\approx 0.3$. Además, los modelos sin energía oscura llevado a una 'era cósmica' paradoja: el calculo de la edad del universo en estos modelos fue de menos de la edad de los más antiguos observaron las estrellas (ver Krauss de 1995, para una revisión). Estos problemas se han resuelto en 1998, cuando dos equipos de aplicar la Ley de Hubble, una muestra de las supernovas, de la comparación de la distancia y el desplazamiento al rojo, que ofrece una clara evidencia de la energía oscura, con $\Omega_{M,0}\approx 0.3$$\Omega_{\Lambda,0}\approx 0.7$, y una constante de Hubble $H_0\approx 65\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$. Estos valores han sido perfeccionadas por el CMB observaciones.
El efecto de la energía oscura puede verse en esta figura:
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Aquí, he a $\Omega_{R,0}=0$ $H_0 = 63.7\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ (el más recientemente valor obtenido). La curva roja es un modelo con la energía oscura. Como se puede ver, para una distancia dada de la correspondiente redshift es mucho menor que en los modelos sin la energía oscura, es decir, sin aceleración.
Información adicional
Es interesante examinar estos modelos en más detalle. Una vez que los valores de los parámetros cosmológicos son fijos, la evolución del universo puede ser calculado. En particular, el tiempo cósmico puede ser escrito como una función del factor de escala:
$$
t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a\frac {'\text{d}'} {\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,' + \Omega_{K,0}\,'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,'^4}},
$$
que puede ser invertida para producir $a(t)$, y por lo tanto también se $\dot{a}(t)$ (ver también este post y este post). La edad del universo es de $t_0=t(1)$, y nos encontramos con que $t_0 =$ 14.0, 11.8, y el 9,7 mil millones de años para $(\Omega_{M,0},\Omega_{\Lambda,0})= (0.3,\,0.7), (0.3,\,0.0), (1.0,\,0.0)$ respectivamente. En otras palabras, la energía oscura aumenta la edad del universo (que también resuelve la edad de la paradoja se mencionó anteriormente). Este es un punto crucial, como voy a mostrar a continuación.
Además, no hay una relación simple entre el corrimiento al rojo de la luz y el factor de escala: si un fotón es emitido en un tiempo de $t_\text{em}$, entonces su desplazamiento al rojo se acumulan a medida
$$
z(t) = \frac{a(t)} {(t_\text{em})} - 1,
$$
de modo que su actual observó un corrimiento al rojo es $z = 1/a(t_\text{em})-1$ (ver wikipedia para una derivación). En otras palabras, la observó un corrimiento al rojo de un fotón nos dice cuando es emitida.
Vamos a aplicar esto a un particular galaxia. Supongamos que tenemos un galaxy en la actualidad la distancia $D = 10$ miles de millones de años luz. Entonces tenemos la siguiente situación:
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El primer gráfico muestra la distancia adecuada de la galaxia y su luz $D(t)=a(t)D$ como una función del tiempo al pasado $t_0-t$. En los tres casos, $D(t)=0$ se corresponde con el "big bangs" de estos modelos.
El cambio de las líneas de puntos en líneas sólidas indican el momento en $t_\text{em}$ a que las galaxias se emite los fotones que observamos hoy en día; las líneas discontinuas son las trayectorias de los fotones. En los tres modelos, los fotones se emiten alrededor de 7 mil millones de años. Pero los correspondientes factores de escala $a(t_\text{em})$ son muy diferentes: $a(t_\text{em})=0.54,\,0.48,\,0.43$ para el rojo, el azul, el verde de los modelos respectivamente. Esto es una consecuencia directa de la diferencia de edad del universo en los tres casos.
Inmediatamente, esto explica el desplazamiento al rojo que se muestra en el siguiente gráfico: el actual desplazamiento al rojo de la luz es $z=0.86,\,1.1,\,1.3$ en los respectivos modelos, es decir, el corrimiento al rojo observado es mucho menor en la oscuridad modelo energético.
Aunque no es muy claro, la curva roja de $D(t)$ tiene un punto de inflexión alrededor de 6 mil millones de años, que corresponde con el momento en el $\ddot{a}=0$ y la expansión de la 'roja' universo comenzó a acelerar. Esto es mucho más claro en la parte superior derecha del gráfico, que muestra la velocidad de recesión $v(t)=\dot{a}(t)D$. En los tres casos, $v(t)$, fue mucho mayor en el pasado, lo que significa que la expansión se ha desacelerado. Pero en la energía oscura caso, $v(t)$ alcanzó un valor mínimo de alrededor de 6 mil millones de años, y comenzó a aumentar de nuevo. Este es el efecto de la reciente aceleración debido a la energía oscura.
Sin embargo, tenga en cuenta que $v(t)$ es mucho menor en el universo de la energía oscura. De nuevo, esto es una consecuencia de la edad del universo en los modelos: le tomó 14 mil millones de años para $a(t)$ a aumentar de 0 a 1 en el rojo de modelo, mientras que se tomó sólo el 9,7 mil millones de años en el modelo verde. Como consecuencia, $\dot{a}$ es mucho menor en el caso anterior.
Finalmente, el último gráfico muestra el parámetro de Hubble $H(t)=\dot{a}/a$, muestra que, incluso en la aceleración del universo $H(t)$ disminuye.
En resumen, la influencia de la energía oscura determina el desplazamiento hacia el rojo, y una distancia adecuada de la velocidad de recesión a lo largo del tiempo, pero no es realmente su efecto sobre la aceleración de la expansión que es importante, sino que su efecto sobre la edad del universo.
Como nota final, la distancia adecuada de una galaxia no es observado directamente. Puede ser derivado de la denominada distancia de luminosidad (comparando el brillo aparente intrínsecos y luminosidad de las supernovas). Así que en realidad debería comparar la evolución de una galaxia con un fijo de la actual distancia de luminosidad en diferentes modelos en lugar de fijo a una distancia adecuada, pero esto no cambia el argumento.
