Resolución de una ecuación diferencial para la propagación del paquete de ondas gaussianas de Heller

Question

Soy un estudiante de grado que trabaja en un proyecto de investigación en química teórica, pero me imagino que este obstáculo en particular es principalmente matemático. Empezaré con un contexto bastante largo, pero el problema matemático en sí está al final. El siguiente documento

• Eric J. Heller, Enfoque temporal de la dinámica semiclásica The Journal of Chemical Physics, volumen 62, número 4, 1975.

es el principal sobre el tema que voy a preguntar aquí (para quien pueda encontrarlo útil), pero voy a proporcionar el contexto completo aquí.

Básicamente, hay una cosa en movimiento llamada paquete de ondas gaussianas que se puede describir completamente con los parámetros $x_t$ (centro del paquete de ondas en el momento t), $p_t$ (momento en el tiempo t), $\alpha_t$ (relacionado con la anchura del paquete de ondas), y $\gamma_t$ (relacionado con la "fase" del paquete de ondas. Los dos primeros parámetros son números reales y los dos últimos son complejos. El subíndice t indica que estos parámetros son funciones del tiempo. Sencillamente, mi objetivo es encontrar las ecuaciones que indican explícitamente cuáles son estos valores, dado cualquier valor del tiempo como entrada. Hay un montón de grandes (para mi estándar), las ecuaciones interconectadas involucrados que hacen de este un gran dolor en el culo.

En primer lugar, estos paquetes de ondas gaussianas se relacionan con una función de energía potencial, V. En nuestro caso,

$$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} \tag{1}$$

Esta es la energía potencial para un oscilador armónico. m es una constante (masa), y $\omega$ es una constante (frecuencia angular). La energía del sistema viene dada por:

$$H(p_t, x_t) = \frac{p_{t}^{2}}{2m} + V(x_t) \tag{2}$$

es decir,

$$H(p_t, x_t) = \frac{p_{t}^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} \tag{3}$$

Heller, el autor del artículo, proporciona ecuaciones de movimiento que deberían dar las respuestas doradas de interés cuando se resuelvan:

$$\dot{x_t} = \frac{\partial H}{\partial p_t} \tag{4}$$

$$\dot{p_t} = -\frac{\partial H}{\partial x_t} \tag{5}$$

$$\dot{\alpha_t} = -(\frac{2}{m})\alpha_t^{2} - \frac{1}{2}V_{xx} \tag{6}$$

$$\dot{\gamma_t} = \frac{i\hbar\alpha_t}{m} + p_t\dot{x_t} - \frac{p_{t}^{2}}{2m} - \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} \tag{7}$$

donde

$$\dot{x_t} = \frac{dx_t}{dt} \tag{8}$$

y $V_{xx}$ es la segunda derivada del potencial con respecto a x, en el valor $x = x_t$ .

Convenientemente, Heller nos proporciona algunas soluciones a esta monstruosidad en caso de que $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$ .

$$\alpha_t = -\frac{m\omega}{2}\Bigg(\frac{\frac{1}{2} m \omega - \alpha_0 \cot(\omega t)}{\alpha_0 + \frac{1}{2}m\omega \cot(\omega t)}\Bigg) \tag{9}$$

$$x_t = x_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{m\omega}\sin(\omega t) \tag{10}$$

$$p_t = p_0 \cos(\omega t) - m\omega x_0 \sin(\omega t) \tag{11}$$

Un subíndice $0$ indica que este es el valor inicial para ese parámetro específico.

Ahora, esto es lo que me mata. Heller afirma que si fijamos un valor inicial de $\alpha_0 = im\omega /2$ , obtenemos que $a_t = a_0$ para todos los valores del tiempo. Es decir, el $\alpha$ se convierte en una constante fija. Y luego, utilizando este conveniente punto de partida, da una respuesta para $\gamma$ :

$$\gamma_t = -\frac{1}{4}i\hbar \ln(m\omega/\pi\hbar) - \frac{1}{2}\hbar\omega t + \frac{1}{2}(p_tx_t - p_0y_0) \tag{12}$$

Esto es muy bueno si quiero tener un valor inicial de $\alpha_0 = im\omega /2$ Pero yo no quiero hacer eso . Quiero tener una solución para $\gamma$ que es una función de $\alpha_0$ para poder cambiar mi parámetro de partida para $\alpha$ a lo que quiera y tener mi $\gamma$ valor cambian en consecuencia.

¿Cuál es la solución de la ecuación (7)? O al menos, ¿qué puedo hacer para resolverla? He intentado usar Wolfram y Symbolab lo mejor que he podido, pero no parecen acercarse a replicar algo que se parezca a una respuesta. He intentado dividir el problema en partes y evaluarlas por separado, pero de nuevo, estas calculadoras en línea parecen dar resultados muy extraños. Si alguien pudiera proporcionarme una solución (idealmente mostrando también que puede derivar la ecuación (12) usando su método empezando con $\alpha_0 = im\omega /2$ ), sería un salvavidas para la progresión de mi investigación. Sin embargo, cualquier ayuda para obtener una respuesta será muy apreciada.

Answer 1

Voy a proporcionar una derivación de (12).

En primer lugar, hay que tener en cuenta que tenemos \begin{align} \dot \gamma_t=&\ \frac{i\hbar \alpha_t}{m}+\underbrace{p_t\dot x_t-H(p_t, x_t)}_{\text{Legendre Transform}}= \frac{i\hbar \alpha_t}{m}+L(\dot x_t, x_t) \end{align} donde \begin{align} L(\dot x_t, x_t) = T-V= \frac{1}{2}m\dot x^2_t-\frac{1}{2}m\omega^2x_t^2 \end{align} es el Lagrangiano del $1$ Oscilador armónico D.

Por lo tanto, tenemos que \begin{align} \gamma_t =&\ \gamma_0+ \int^t_0 \frac{i\hbar \alpha_s}{m}+L(\dot x_s, x_s)\ ds=\ \gamma_0 -\frac{1}{2}\hbar \omega t+ \underbrace{\int^t_0 L(\dot x_s, x_s)\ ds}_{\text{Lagrangian action}}. \end{align}

Como ejercicio estándar de integración por partes, se puede demostrar que \begin{align} \int^t_0 L(\dot x_s, x_s)\ ds = \frac{1}{2}(p_t x_t - p_0 x_0). \end{align}

Tenga en cuenta que las dificultades en el ámbito general son encontrar $\alpha_t$ y evaluar \begin{align} \frac{i\hbar}{m}\int^t_0\alpha_s\ ds. \end{align} Pero incluso eso es sólo un ejercicio en el caso del $1$ D, ya que la ecuación de $\alpha_t$ es \begin{align} \dot \alpha_t=-\frac{2}{m}\alpha_t^2-m\omega^2 \end{align} que es sólo una ecuación separable.