Cocientes aritméticos de edificios de Bruhat-Tits para grupos sobre campos locales de característica positiva

Question

Me han hecho creer que hay un resultado que da una descripción del cociente de un edificio Bruhat-Tits $\Delta(G,k)$ para un grupo algebraico semisimple $G$ sobre un campo local no arquimédico de característica positiva $k$ por una red aritmética no uniforme $\Gamma$ . Creo que dice que dicho cociente es la unión de un complejo simplicial finito con un número finito de cúspides que son producto de $\mathbb{R}$ con un edificio esférico. He tenido algunas dificultades para localizar una referencia para esto y estaría agradecido si alguien pudiera indicarme la dirección correcta.

Answer 1

Supongo que es más conveniente recoger algunas de las referencias bibliográficas pertinentes en una respuesta. El descargo de responsabilidad es que no conozco ningún resultado para retículos aritméticos generales no uniformes $\Gamma\leq G(k)$ los resultados que conozco se refieren siempre a retículos de la forma $G(\mathbb{F}_q[C])$ donde $C$ es una curva afín suave sobre el campo finito $\mathbb{F}_q$ con un solo punto $P$ en el infinito y el campo no arquimédico $k$ es la finalización de $\mathbb{F}_q(C)$ a la valoración correspondiente a $P$ .

La observación general, ya mencionada en los comentarios, es que el límite del edificio Bruhat-Tits $\Delta(G,k)$ es el edificio esférico para $G$ y $k$ (olvidando que $k$ también tiene una valoración discreta). El límite del cociente $\Delta(G,k)/\Gamma$ es el cociente de la frontera modulando el inducido $\Gamma$ -acción. Este cociente, en particular, está conectado siempre que el rango de $G$ es $\geq 2$ .

La mayoría de los cálculos del cociente $\Delta(G,k)/\Gamma$ que se han hecho son para el caso $G=GL_2$ o $G=SL_2$ . Como se ha mencionado, la estructura de las cúspides se determina en

• J.-P. Serre. Árboles. Springer, 1980, en particular las secciones II.1 y II.2.

• U. Stuhler. Propiedades homológicas de ciertos grupos aritméticos en el caso del campo de funciones. Invent. Math. 57 (1980), 263-281. (Este es el caso de varias valoraciones, con la acción de $SL_2$ en un producto de árboles).

En caso de que esté interesado en la estructura del subcomplejo finito, éste se calcula para campos de funciones racionales en

• R. Köhl, B. Mühlherr y K. Struyve: Cocientes de árboles por subgrupos aritméticos de $PGL_2$ sobre un campo de funciones racionales. J. Group Theor. 18 (2015), 61-74.

Para las curvas elípticas el cociente del árbol se calculó en

• S. Takahashi. El dominio fundamental del árbol de $GL(2)$ sobre el campo de funciones de una curva elíptica. Duke Math. J. (1993) 85-97.

Para grupos de mayor rango, existe un cálculo del dominio fundamental de la acción de $GL_n(k[T])$ en el árbol asociado a la valoración de grado en $k((T))$ . Para $G$ dividido, esto es en

• C. Soulé. Grupos de Chevalley sobre anillos polinómicos. En: Homological group theory. London Math. Soc. Lecture Notes 36, Cambridge University Press, 1979, 359-367,

y para $G$ isotrópico no dividido, esto se hace en

• B. Margaux. La estructura del grupo $G(k[t])$ : Variaciones sobre un tema de Soulé. Algebra Number Theory 3 (2009), 393-409.

Estos cálculos implican que la acción de $G(k[t])$ en el límite del edificio $\Delta(G,k((t)))$ tienen como dominio fundamental un único simplex. En particular, la descripción como finitamente muchas copias de los edificios en el infinito no es correcta.

Uno de los principales problemas de ir a un rango superior es que para los "cusps" de $GL_n$ la estructura del cociente completo para grupos de menor rango $GL_i$ , $i\leq n$ es relevante. He hecho un cálculo para $GL_3$ sobre una curva elíptica que puede ayudar a aclarar este problema, véase la sección 3 de este documento en el arXiv. Disculpas por el anuncio y el hecho de que no hay pruebas en ese documento (esto está como en proceso de ser generalizado....) Mi punto en traer esto es que la estructura de tipo cúspide/homotopía en el infinito para el cociente $\Delta(GL_3,k(E))/GL_3(k[E])$ está dado por un gráfico que describe haces vectoriales descomponibles de rango tres en la curva elíptica. Este gráfico contiene subgrafos que tienen la forma de estrellas sobre $\mathbb{P}^1(k)$ Estos provienen del cálculo de Takahashi del dominio fundamental para $GL_2(k[E])$ . En cierto modo, para calcular la estructura de la cúspide para $GL_3$ , hay que conocer todo el cociente para $GL_2$ . Esto hace que los cálculos de rango superior sean muy poco factibles. El cálculo para $GL_3(k[E])$ también muestra que las cúspides no tienen la forma de los edificios, son cosas más complicadas que se rigen por la clasificación del haz de vectores en la curva subyacente.

Perdón por una respuesta demasiado extensa, espero que las referencias dadas sean útiles.