Dejemos que $A_1$ y $A_2$ sean dos estructuras lisas distintas en la variedad $M$ . Para dos gráficos cualesquiera $(U,\phi)\subset A_1$ y $(V,\psi)\subset A_2$ , ambos $\phi$ y $\psi$ son difeomorfismos. Si suponemos que $U$ y $V$ no son disjuntos, entonces $\psi\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap V)\to \psi(U\cap V)$ es un difeomorfismo ya que la composición de dos difeomorfismos es un difeomorfismo. Pero esto es una contradicción, ¿qué hay de malo en mi argumento?
Respuesta
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user99914
Puntos
1
Si elige la estructura lisa $A_1$ entonces $\phi^{-1}(U\cap V) \to U\cap V$ es diferenciable con respecto a $A_1$ . Pero entonces $ \psi : U\cap V \to \psi(U\cap V)$ no es diferenciable con respecto a $A_1$ y la composición no es diferenciable. Es posible que desee utilizar $A_2$ en el segundo mapa, pero entonces hay que tener en cuenta
$$\psi \circ I \circ \phi^{-1},$$
donde $I$ es el mapa de identidad $I: (U\cap V, A_1) \to (U\cap V, A_2)$ . Pero este mapa no es diferenciable.
