Dejemos que $f:\Bbb D \rightarrow \Bbb H$ sea holomorfo con $f(0)=i$ , demuestre que se cumple la siguiente desigualdad

Question

Dejemos que $f:\Bbb D \rightarrow \Bbb H$ sea holomorfo con $f(0)=i$ , demuestre que se cumple la siguiente desigualdad:

$\frac{1-|z|}{1+|z|} \leq |f(z)| \leq \frac{1+|z|}{1-|z|}$

y que $|f'(0)|\leq 2$

Esto parece una especie de desigualdad de Schwarz.

Dejemos que $g: \Bbb H \rightarrow \Bbb D$ sea el mapa conforme

$g(z) = \frac{i-z}{i+z}$ . Entonces $h=g\circ f$ es un mapa del disco a sí mismo con $f(0)=0$ por lo que el lema de Schwarz da

$|\frac{i-f(z)}{i+f(z)}| \leq |z|$

pero no veo cómo proceder.

Answer 1

Dejemos que $h$ ser el mapa compuesto como en su declaración.

Sabemos que $$|\dfrac{i-f(z)}{i+f(z)}| \leq |z|,$$ así , $$|i-f(z)| \leq |z| |i+f(z)| \leq |z|+|z||f(z)|.$$ Por la desigualdad del triángulo, sabemos que

$$|f(z)| \leq |z| +|z| |f(z)| +1.$$ Reordenando, obtenemos que $$|f(z)|-|z||f(z)| \leq |z|+1,$$ y dividiendo por $1-|z|$ obtenemos $$|f(z)|\leq \dfrac{|z|+1}{|1-|z|}.$$

La otra desigualdad es sencilla y se sigue por una estrategia similar. ¿Puedes resolverlo o quieres que escriba también la respuesta?