Topología - Ejemplo de espacio de productos

Question

En el libro "Topología" de Boto von Querenburg leí el siguiente ejemplo para espacios producto:

"El espacio producto de una circunferencia y un intervalo $[a,b]$ con $0<a<b$ es homeomorfo al anillo $\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon b \geq x^2+y^2 \geq a \right\rbrace$ ."

Creo que esta afirmación parece evidente por intuición. Pero, ¿cómo puedo ver esto mediante el cálculo formal?

Answer 1

De la misma manera que siempre se demuestra que los espacios son homeomórficos: Mostrando un homeomorfismo.

Puede resultarle útil lo siguiente:

El mayor truco de la topología elemental (GTET): Una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo.

Answer 2

Dejemos que $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2: a\ge x^2+y^2\ge b\}$ , $I=\big[\sqrt{b},\sqrt{a}\big]$ y $S=\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2=1\}$ .

Entonces el mapa $f:S\times I\to A$ con $$ f(s,t)=ts, $$ es un homeomorfismo.

Answer 3

Considere $f:\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon a \geq x^2+y^2 \geq b \right\rbrace \rightarrow S^1\times[a,b] $ que envía $(x,y)$ a $((\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}),\sqrt{x^2+y^2})$ . Verifique que $f$ es una biyección continua y utilizar el siguiente teorema después de demostrarlo:

Hecho: Dejemos que $X,Y$ sean espacios compactos de Hausdorff. Si $f:X\rightarrow Y$ es una biyección continua, entonces es un homeomorfismo.