Desigualdad con raíces cuadradas: $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\ge \sqrt{5}$

Question

Que $x$ $y$ ser números verdaderos no negativos tales que $x+y=1$. ¿Cómo demuestro que $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\ge \sqrt{5}$?

¿Cómo trato con raíces cuadradas dentro de la desigualdad?

Answer 1

Desigualdad del triángulo :) La longitud de la línea roja doblada representa la suma de las dos raíces, que no es más corta que el largo diagonal de este rectángulo de $1:2$.

(Edit: cambió mi diagrama dibujado mal; fue este)

Answer 2

Asumir lo contrario, $0\le x \le 1$ y $y=1-x$,

$$\begin{align} \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1} <& \sqrt{5}\\ \left( \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} \right)^2 <& 5 &\text{(Square both sides)}\\ x^2 +1 + 2\sqrt{ \left( x^2 + 1 \right)\left( y^2 + 1 \right)} + y^2 + 1 <& 5\\ 2\sqrt{ \left( x^2 + 1 \right)\left( y^2 + 1 \right)} <& 3 - x^2 -y^2\\ 2\sqrt{ \left( x^2 + 1 \right)\left( y^2 + 1 \right)} <& 3 - \left(x+y\right)^2 + 2xy\\ 2\sqrt{ \left( x^2 + 1 \right)\left( y^2 + 1 \right)} <& 3 - 1 + 2xy &\text{(Substitute }x+y=1\text{)}\\ \sqrt{\left( x^2+1 \right) \left( y^2 + 1 \right)} <& 1+xy\\ \left( x^2+1 \right) \left( y^2 + 1 \right) <& \left( 1+xy \right)^2 &\text{(Square both sides)}\\ x^2 y^2 + x^2 + y^2 + 1 <& 1 + 2xy + x^2 y^2\\ x^2 -2xy+y^2 <& 0\\ \left( x - y \right)^2 <& 0\\ \end {Alinee el} $$

que contradice.

Answer 3

Que $f(x) = \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(1-x)^2+1}$. $x$ Y $y$ son números enteros no negativos, solamente consideramos $x \in [0, 1]$.

Tenga en cuenta que $f(x)$ es simétrica alrededor de $x = \frac{1}{2}$ y

$$f'(x) = \frac{x\sqrt{(1-x)^2+1} + (x - 1)\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{(1-x)^2+1}}.$$

For $0 < x < \frac{1}{2}$, $x < 1 - x$ so $\sqrt{x^2+1} > \sqrt{(1-x)^2+1}$. Por lo tanto, $$f'(x) = \frac{x\sqrt{(1-x)^2+1} + (x - 1)\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{(1-x)^2+1}} < \frac{\frac{1}{2}\sqrt{(1-x)^2+1} - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{(1-x)^2+1}} < 0.$$ So $f $ is decreasing on $ [0, \frac{1}{2})$ and as $f$ is symmetric about $x = \frac{1}{2}$, $f$ is increasing on $ (\frac {1} {2}, 1] $. Therefore $f $ attains its minimum value at $x = \frac{1}{2}$ which is $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1} + \sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+1} = \sqrt{\frac{5}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2}\sqrt{5} = \sqrt{5}.$$ Hence, $f(x) \geq \sqrt{5}$ for $x \in [0, 1] $. Setting $y # = 1 - x$ we have $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} \geq \sqrt{5}$.

Answer 4

Si está familiarizado con la desigualdad de Minkowski, es sencillo.

$$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1} \ge \sqrt{(x+y)^2 + (1+1)^2} = \sqrt5$$

Answer 5

Otra interpretación del problema es este: $ \ y = \sqrt{x^2 + 1} \ \ \text{and} \ \ x = \sqrt{y^2 + 1} \ $ son los "positivos" ramas " de la "vertical" y "horizontal" de la unidad de hipérbolas centrado en el origen. Por lo tanto, compartir las asíntotas $ \ y = \pm \ x \ $ .

Se especifica que $ \ x \ge 0 \ \ \text{and} \ \ y \ge 0 \ $ y que estén relacionadas a través de la $ \ x + y = 1 \ . $ Así que, de hecho, requieren que el $ \ 0 \ \le \ x,y \ \le \ 1 \ . $ así, podemos imaginar a un punto en el primer cuadrante que se desliza a lo largo de la línea de $ \ y = 1 - x \ $ en dicho cuadrante y cuenta la longitud de la vertical y horizontal de los segmentos de línea que se extiende desde cada uno de los ejes de coordenadas a la correspondiente rama hiperbólica, como se muestra en la siguiente figura.

Es claro que el comportamiento de este geométricas transcripción es simétrica con respecto a la asíntota $ \ y = x \ , $, por lo que sólo necesitamos mirar los resultados, por ejemplo, $ \ 0 \ \le \ x \ \le \ \frac{1}{2} \ . $ $ \ x = 0 \ , $ alcanzamos el máximo de la suma buscada,

$$ \sqrt{0^2 + 1} \ + \ \sqrt{1^2 + 1} \ = \ 1 + \sqrt{2} \ \approx \ 2.4142 \ , $$

mientras que para $ \ x = \frac{1}{2} \ , $ la suma tiene a su mínimo,

$$ \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1} \ + \ \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1} \ = \ 2 \cdot \sqrt{\frac{5}{4}} \ = \ \sqrt{5} \ \approx \ 2.2361 \ . $$

La suma de los radicales, tiene un muy estrecho rango de valores para el dominio especificado. [Este enfoque es casi similar a la de Michael Albanese's análisis. (También parece una especie de "dentro-fuera" de la versión de peterwhy's elegante método.)]