Reps de grupos y reps de álgebras

Question

Tengo lo que podrían ser un par de preguntas muy básicas sobre las representaciones fundamentales de grupos de Lie semisimples localmente isomorfos y su relación con las representaciones del álgebra de Lie correspondiente. Sé (por la lectura de Cornwell, 'Group Theory in Physics') que cada representación de un álgebra de Lie semisimple se exponentiza para dar una representación del único grupo de Lie semisimple simplemente conectado asociado a esa álgebra. (Así, por ejemplo, cada representación del álgebra su(2) se exponentiza para dar una representación del grupo SU(2)). También sé que, al menos en algunos casos (como en el del grupo SO(3), que también tiene como álgebra a su(2)), no se da el caso de que toda representación del álgebra se exponga para dar una representación de un determinado grupo no simplemente conectado asociado a esa álgebra. La primera representación no trivial de SO(3), por ejemplo, no se obtiene exponenciando la representación fundamental (bidimensional) de su(2) (con el mayor peso 1/2), sino que se obtiene exponenciando la representación tridimensional del álgebra (con el mayor peso 1).

Así que tengo dos preguntas sobre el mismo tema que las anteriores.

1. ¿Se da siempre el caso de que la(s) representación(es) fundamental(es) de los distintos grupos de Lie semisimples no conectados asociados a un álgebra de Lie semisimple dada no se pueden obtener exponenciando la(s) representación(es) fundamental(es) del álgebra?

2. ¿Corresponden la(s) representación(es) fundamental(es) de cada uno de los diferentes grupos no simplemente conectados a diferentes representaciones del álgebra? (Es decir, ¿tendrán siempre representaciones fundamentales diferentes dos grupos que son localmente pero no globalmente isomorfos).

Cualquier conocimiento que alguien pueda aportar al respecto será realmente apreciado. (Estoy bastante seguro de que la segunda en particular es trivial, pero no estoy seguro ya que al nivel que estoy en física casi siempre trabajamos con representaciones de las álgebras y no estoy familiarizado con cómo se relacionan con las representaciones de los grupos). Muchas gracias.

Answer 1

Consideremos, para simplificar, el caso complejo semi-simple. Como menciona, toda representación irreducible $\rho$ de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita $g$ se integra en una representación del correspondiente grupo de Lie simplemente conectado $G$ . Pero incluso si suponemos $\ker\rho=0$ la representación de $G$ puede tener un núcleo, un subgrupo central finito $H$ de $G$ . Así, obtenemos representaciones de $G/H'$ donde $H'$ es un subgrupo central finito contenido en $H$ pero no de otros grupos con álgebra de Lie $g$ .

Así que uno podría preguntarse: dado un grupo de Lie $G'$ con el álgebra de Lie $g$ ¿cuándo una representación $\rho$ de $g$ con mayor peso $\Lambda$ se integra a una representación de $G'$ ? La respuesta: si y sólo si $\Lambda$ pertenece a la red de caracteres de un toro maximal $T$ de $G$ . (Recordemos que la red de caracteres de $T$ es el subgrupo aditivo discreto del dual del álgebra de Lie de $T$ abarcados por los diferenciales de los homomorfismos $T\to\mathbf{C}^{\ast}$ .)

También se puede plantear una pregunta similar: dada una representación $\rho$ de $g$ con $\ker\rho =0$ y el peso más alto $\Lambda$ cómo calcular el núcleo de la representación resultante $R$ del grupo simplemente conectado $G$ ? La respuesta es la siguiente. El dual del álgebra de Lie $t$ de $T$ contiene la red de pesos $P$ y la red de raíces $Q$ . Recordemos que la red de pesos es la red abarcada por los pesos fundamentales y la red de raíces está abarcada por las raíces, es decir, los pesos de la representación adjunta. Tenemos $Q\subset P$ . Consideremos las redes duales $Q^\vee\subset P^\vee$ ; estos están formados por todos los elementos $a$ del álgebra de Lie de $T$ tal que $l(a)\in\mathbf{Z}$ para todos $l\in P$ , resp. todos $l\in Q$ .

Dentro de $P^\vee$ existe una subred formada por todos los $a\in t$ tal que $\Lambda(a)\in\mathbf{Z}$ contiene $Q^\vee$ y el cociente por $Q^\vee$ se identifica naturalmente con el núcleo de $R$ (por exponenciación). Hay un resultado similar cuando $\rho$ es reducible -- en ese caso sólo consideramos la subred formada por todos los elementos del espacio tangente tales que todos los pesos que toman valores integrales en ellos.

Ejemplo: cuando $G=SL_2(\mathbf{C})$ podemos identificar $Q$ con la subred de $\mathbf{R}$ abarcados por 1 y $R$ será atravesado por $\frac{1}{2}$ . Entonces las representaciones con peso integral tendrán núcleo $\mathbf{Z}/2$ y las representaciones con peso semi-integral tendrán núcleo trivial.

Esperemos que una de estas dos preguntas cubra también las preguntas del anuncio.

Answer 2

Para complementar la respuesta de algori: El primer caso interesante (para el álgebra de Lie de tipo $A_1$ en $\mathbb{C}$ ) ya se ha apuntado en la pregunta: las representaciones irreducibles de dimensión impar exponen al grupo simplemente conexo y al grupo adjunto, pero no las de dimensión par que incluyen la representación fundamental única. En el tipo $B_2$ hay dos representaciones fundamentales, de dimensiones 4 y 5. Esta última da la realización estándar del grupo adjunto como un grupo ortogonal especial en 5 variables, mientras que la primera es la representación de "espín" del grupo de cobertura simplemente conectado pero no es una representación del grupo adjunto. Como señala algori, qué representaciones fundamentales exponen a qué grupo depende de la posición de su mayor peso en la red de pesos de un toro maximal del grupo respecto a la red de raíces.

Sin embargo, en todos los casos la teoría básica de Lie garantiza que las representaciones que pertenecen a diferentes pesos máximos (incluidas las fundamentales) no son isomorfas.

En el caso de las álgebras y grupos de Lie semisimples reales, ocurren cosas similares pero más complicadas, como se ve en varios libros de texto de matemáticas y física.