El límite directo obras. Para $i\in\omega$ dejar $f_{i,i}=\text{id}_{X_i}$ y $f_{i,i+1}=f_i$ . Dado $f_{i,j}:X_i\to X_j$ para algunos $i,j\in\omega$ con $i\le j$ , dejemos que $f_{i,j+1}=f_{j,j+1}\circ f_{i,j}:X_i\to X_{j+1}$ . Sea $Y=\bigsqcup_{i\in\omega}X_i$ la unión disjunta de los espacios. Definir una relación de equivalencia $\sim$ en $Y$ de la siguiente manera:
Dado $x,y\in Y$ Hay un único $i,j\in\omega$ tal que $x\in X_i$ y $y\in X_j$ ; $x\sim y$ si existe un $k\ge\max\{i,j\}$ tal que $f_{i,k}(x)=f_{j,k}(y)$ .
Ahora dejemos que $X=Y/\!\sim$ y que $q$ sea el mapa cociente. Para cada $i\in\omega$ dejar $q_i=q\upharpoonright X_i$ . Por último, dar $X$ la topología final con respecto a los mapas $q_i$ un subconjunto $U$ de $X$ está abierto en $X$ si $q_i^{-1}[U]$ está abierto en $X_i$ para cada $i\in\omega$ .
El mapa $q_i:X_i\to X$ es continua por construcción. Sea $x\in X$ . Hay un $j\in\omega$ y un $y\in X_j$ tal que $q_j(y)=x$ y podemos suponer que $j\ge i$ . Los mapas de unión son suryentes, por lo que existe un $z\in X_i$ tal que $f_{i,j}(z)=y$ y por lo tanto $z\sim y$ y $q_i(z)=x$ . Así, $q_i$ es suryente.
