Ecuación paramétrica de un círculo no envolvente en la superficie de un cilindro

Question

Tengo un cilindro de radio $R$ y deseo dibujar un círculo de radio $r$ en su superficie que hace pas envolverlo. Por lo tanto, el centro estará en algún lugar de la superficie del cilindro, y todo el círculo estará también en la superficie.

¿Puede alguien ayudarme a encontrar una representación paramétrica?

Answer 1

El mérito es de @achillehui por darme la respuesta. Sólo estoy elaborando en lo que dijo, y aclarar por qué el escalamiento por. $R$ es necesario.

• La forma general de encontrar la parametrización de un círculo en un cilindro (o a una esfera o un cono o cualquier superficie mapeable) es encontrar un mapeo del plano al cilindro, y luego aplicar este mapeo a un círculo en el plano.

Citando a @achillehui de arriba:

Supongamos que el cilindro tiene el eje z como eje de simetría. Se puede parametrizar la superficie como $$(u,v)↦(x,y,z)=(R\cos(\frac{u}{R}),R\sin(\frac{u}{R}),v)$$ . Para dibujar un círculo en se compone la parametrización del círculo $$t↦(u,v)=(r\cos t,r\sin t)$$ con eso del cilindro. Se obtiene $$t↦(x,y,z)=(R\cos(\frac{r \cos t}{R}),R\sin(\frac{r \cos t}{R}),r \sin t)$$ . Si desea que el círculo se vea como un círculo, asegúrese de utilizar el factor de escala para $u,v$ (los dos $R$ arriba).

• La composición de los mapeos es lo que dije al principio. Lo que realmente me interesa es el reescalado por $R$ . @achillehui lo explica utilizando una expansión de Taylor en torno a $(u,v) = (0,0)$ para los grandes $R$ límite. Así, la parametrización sin escala $(u,v)↦(x,y,z)=(R\cos(u),R\sin(u),v)$ da $(u,v)↦(x,y,z)=(R,Ru,v)$ para que tengamos un mapeo de círculo a elipse: $$u^2+v^2=1 \: (\rm{circle}) \mapsto (y/R)^2 + z^2 =1 \:\rm{(ellipse)}.$$

Escalando esto por $R$ da $(u,v)↦(x,y,z)=(R,u,v)$ para que tengamos: $$u^2+v^2=1 \:(\rm{circle}) \mapsto y^2 + z^2 =1 \:\rm{(circle)}.$$

• Tengo un argumento diferente, más intuitivo para mí. Es que el primer mapeo sin escala no es una isometría, mientras que el segundo sí lo es. Sólo las isometrías preservan la curvatura geodésica $\kappa_g$ (ver: ¿Por qué la curvatura geodésica es invariante bajo transformaciones isométricas? ), para que los círculos ( $\kappa_g =1$ ) siguen siendo círculos bajo el mapeo .

Esto se puede ver claramente observando la acción de la cartografía en la línea $u=\rm{const.}$ , que se mapea en un círculo concéntrico con el eje del cilindro. Para el mapa sin escala, el intervalo de longitud $2\pi$ se mapea en un círculo de longitud $2\pi R$ , lo que implica claramente un escalado por el factor $R$ . Dividiendo por $R$ por lo que se garantiza la isometría.

------------------------------------------- IMAGES ------------------------------------------------

• Parametrización sin escala (con $R=1$ ): $$t↦(x,y,z)=(\cos(r \cos t),\sin(r \cos t),r \sin t), \:t \in [0, 2\pi]$$

• Parametrización a escala: $$t↦(x,y,z)=(R\cos(\frac{r \cos t}{R}),R\sin(\frac{r \cos t}{R}),r \sin t), \:t \in [0, 2\pi]$$