conjunto convexo en $R^n$ no puede tener su baricentro en el límite?

Question

Supongamos que $p$ es una medida de probabilidad en $R^n$ que satisface

1. $p$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
2. $p(D)=1$ para un conjunto convexo cerrado y acotado $D\subset R^n$ et $p(A)>0$ para todo conjunto abierto $A\subset D$ .

Dejemos que $S\subset D$ et $p(S)>\delta>0$ . También $S$ es la intersección de varios medios espacios $\{x\in R^3 | a^T x + b > 0\}$ ( $S$ es convexo). La media con respecto a $S$ se define por $$ u(S)=\frac{1}{p(S)}\int_{S} x dp(S) $$

¿Podemos demostrar que $u(S)$ no puede estar arbitrariamente cerca del límite de $S$ ?

Motivación: Me encontré con esta pregunta cuando leí el primer artículo sobre el método k-means. El documento se puede encontrar en proyectoteuclid y el archivo pdf es de libre acceso. En la cuarta página al demostrar el lema 1, el autor afirma que "un conjunto convexo de $p$ medir al menos $\delta>0$ no puede tener su media condicional arbitrariamente cerca de su límite". Pero no puedo configurar por qué es así.

Incluso si $p$ es uniforme, cómo demostrar que el baricentro de $S$ no puede estar arbitrariamente cerca del límite? ¿O la afirmación no es válida en general?

Answer 1

Dejemos que $p$ sea como se da. Si $S\subset D$ es un conjunto convexo $S\subset D$ con $p(S)>0$ et $s\in\partial S$ encontraremos un límite inferior positivo para $|u(S)-s|$ que depende únicamente de (las propiedades de $p$ y) $p(S)$ .

Por continuidad absoluta de $p$ existe $V_0>0$ tal que $p(E)<\frac 12p(S)$ es válida para todos los $E$ con $\operatorname{vol}(E)<V_0$ .

Si $a\in\Bbb R^n$ , $|a|=1$ y $b\in\Bbb R$ dejar $H_{a,b}=\{\,x\in\Bbb R^n\mid a^Tx+b>0\,\}$ . Sabemos que podemos escribir $S$ como $$ S=\bigcap_{i\in I}H_{a_i,b_i}.$$ Claramente, $S\subset H_{a,b}$ implica $$ a^Tu(S)+b=\frac1{p(S)}\int_S(a^t x+b)\,\mathrm dp(S)> 0,$$ y concluimos $u(S)\in S$ . A priori, esto todavía permitiría $u(S)$ para estar arbitrariamente cerca de $\partial S$ .

Para $\rho>0$ definimos $$ S\ominus\rho:=\bigcap_{i\in I}H_{a_i,b_i-\rho}$$ como el conjunto $S$ erosionado por $\rho$ . Escribamos $$\partial_\rho S:=S\setminus(S\ominus\rho)$$ para los puntos cercanos al límite que se erosionaron. Obsérvese que cada punto de $S\ominus \rho$ tiene distancia $\ge \rho$ de cada punto de $\partial S$ .

Primero se puede demostrar (!) que $\partial S$ es un $(n-1)$ -para la cual $$\operatorname{vol}_{n-1}(\partial S)\le \operatorname{vol}_{n-1}(\partial D)$$ retenciones. Además, $$\operatorname{vol}_{n}(\partial_\rho S)\le \rho\cdot \operatorname{vol}_{n-1}(\partial S).$$ Para $\rho<\frac{V_0}{\operatorname{vol}_{n-1}(\partial D)}$ podemos concluir que $p(\partial_\rho S)<\frac 12p(S)$ y así $$ p(S\ominus\rho)=p(S)-p(\partial_\rho S)>\frac 12p(S), \qquad \operatorname{vol}_n(S\ominus \rho)\ge V_0.$$ Tenemos $$ u(S)=\frac{p(\partial_\rho S)\cdot u(\partial_\rho S) +p(S\ominus \rho)\cdot u(S\ominus \rho)}{p(S)}=t u(\partial_\rho S) + (1-t) u(S\ominus \rho)$$ con $0<t<\frac12$ . Entonces, si $|a|=1$ et $S\subseteq H_{a,b}$ encontramos $$ a^Tu(S)=t a^Tu(\partial_\rho S)+(1-t) a^Tu(S\ominus \rho)\ge t\cdot (-b) + (1-t)(-b+\rho)>-b+\frac12\rho.$$ Concluimos que $$|u(S)-s|\ge \frac12\rho$$ para todos $s\in\partial S$ .

Answer 2

Dependiendo de cómo se "pese" $p$ se puede acercar arbitrariamente a la frontera. No se puede llegar a la frontera (o fuera de ella) - se puede ver esto tomando un hiperplano de apoyo y usando eso $p$ es $>0$ para subconjuntos abiertos no vacíos.

Si $p$ es la medida uniforme, entonces el centro de masa es una noción afín. Es decir, si un mapa lineal invertible toma $K$ a $K'$ se mapeará $u_K$ a $u_{K'}$ (nota invertible aquí, $K$ , $K'$ no tiene por qué ser convexo, sólo cerrado, acotado y con un interior no vacío).

Para ver hasta qué punto es $u_K$ desde el límite de $K$ hay varias formas de medirlo:

1. En primer lugar, observe que los hiperplanos que pasan por $u_K$ en general no dividen $K$ en $2$ piezas de igual masa. No son las masas de cada lado del hiperplano las que se equilibran, sino los momentos de las masas. Sin embargo, hay límites para las raciones de las piezas.

2. Existen límites para las relaciones de los "radios" de las cuerdas a través de $u_K$ .

Nótese que los límites anteriores son invariantes afines. En general, el peor caso es si $K$ es un tetraedro, mientras que el mejor es la esfera (y en cierto modo, los cuerpos con simetría central).

Deberías hacer una búsqueda en Google de las nociones anteriores, y quizás tratar de encontrar otras formas de medir la "distancia" de una pelota o de un cuerpo con simetría central.

Añadido:

hay al menos dos resultados que conozco.

1.En primer lugar, es el teorema de Winternitz que dice que cualquier hiperplano que pase por el centro de masa de un cuerpo convexo lo dividirá en cuyos volúmenes tengan relaciones $$\frac{\operatorname{vol}K_1}{\operatorname{vol}K_1} \le \frac{1- \left(\frac{n}{n+1}\right)^n}{ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n}= \left(\frac{n+1}{n}\right)^n-1$$

( la constante se calcula fácilmente para los hiperplanos que pasan por el centro de masa de un $n$ simplex dimensional que son paralelos a uno de los $n-1$ caras). Obsérvese que se acerca cada vez más $e-1$ .

2.Si $K$ El cuerpo convexo tiene una anchura $d$ ( la distancia más cercana dos planos de apoyo paralelos) entonces $u_K$ está a una distancia de al menos $\frac{1}{n+1}$ de cualquier hiperplano de apoyo.