Definición universal de los espacios tangentes (para esquemas y colectores)

Question

Tanto los esquemas como los colectores son espacios anillados locales que son localmente isomórficos a espacios en alguna subcategoría completa de espacios anillados locales (modelos locales). Ahora bien, existe la noción inherente del espacio tangente de Zariski en un punto (dual del módulo ideal máximo su cuadrado) que es la definición "correcta" para los esquemas y para $C^ \infty$ -manifolds (sobre $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$ ). Pero para $C^r$ -se multiplica $\mathbb {R}$ con $r< \infty$ esta no es la definición correcta. Aquí hay que tomar clases de equivalencia de $C^r$ - curvas a través del punto. ¿No hay una definición general de los espacios tangentes que siempre es la correcta?

Tampoco estoy completamente seguro de lo que significa "correcto". Hasta ahora, creo que uno quiere que la dimensión del espacio tangencial sea igual a la dimensión del punto. Este es, por ejemplo, el problema con los espacios tangentes de Zariski para $C^r$ - los manípulos. ¿Puede explicarse esta falla geométricamente?

Answer 1

Considere la línea real $\mathbb R$ y $C^1 \_0$ el anillo de gérmenes de funciones continuamente diferenciables en cero. Ahora toma el ideal $M$ de gérmenes que se desvanecen en cero. El espacio cotangente de Zariski $M/M^2$ tiene la dimensión del continuo (porque las clases de $x^{1+ \epsilon }$ son linealmente independientes en el cociente para $0< \epsilon <1$ ). De ahí el espacio tangente de Zariski de la línea real, es decir, el dual de $M/M^2$ tiene una dimensión $2^{continuum}$ . Algunos geómetras podrían pensar que esto es un poco grande para la línea real.

Este resultado es esencialmente el ejercicio 13 del capítulo 3 de la Geometría Diferencial de Spivak, volumen I.

Answer 2

Bien, aquí hay una definición uniforme que he usado cuando enseño geometría diferencial, permitiendo $C^r$ colectores con esquinas $M$ con $0 < r \le \infty$ . Da la noción correcta para $r = \omega$ también, así como complejos colectores y esquemas suaves localmente de tipo finito sobre un campo $k$ (utilizando la topología etale en este último caso), pero a continuación me atengo al contexto anterior para facilitar la mecanografía. (No se aplica a esquemas más generales, o espacios analíticos complejos no lisos, etc., pero no considero que eso sea un defecto).

Primero un lema estándar, luego una definición. Para cada uno $m$ en $M$ definen el anillo de gérmenes de $C^r$ -funciones $\mathcal {O}_ m$ como de costumbre, y (por el argumento de integración habitual) comprobar que para un sistema de coordenadas local $(x_i)$ cerca de $m$ cada $f \in \mathcal {O}_m$ satisfactoria $f(m) = 0$ necesariamente satisface $f = \sum (x_i - x_i(m))h_i$ para algunos $C^{r-1}$ gérmenes $h_i$ cerca de $m$ . El lema es que la condición de todos $h_i$ se desvanecen en $m$ es independiente de la expresión elegida y del sistema de coordenadas (por ejemplo, probar $h_i(m) = ( \partial_ {x_i}|_ m)(f)$ ). Entonces decimos $f$ se desvanece a primer orden en $m$ .

Dado que la intuición física es que un vector tangente se identifica con su operador derivado direccional en las funciones cercanas al punto, y por lo tanto debería matar las funciones que se desvanecen en primer orden, es muy razonable definir el espacio tangente ${ \rm {T}}_ m(M)$ para ser el espacio vectorial de $\mathbf {R}$ -mapas lineales $D:\mathcal {O}_m \rightarrow \mathbf {R}$ que satisfacen la "regla de Leibnitz en $m$ "y matar todos los gérmenes que se desvanecen en primer lugar. Entonces para cualquier $(x_i)$ los operadores $\partial_ {x_i}|_m$ se comprueban para ser un $\mathbf {R}$ -base, se prueba una relación con los vectores de velocidad a los paramétricos $C^r$ -curvas a través de $m$ (recuperando esa importante visualización), etc.

Answer 3

No estoy seguro, pero creo que Anders Kock (y Bill Lawvere) podrían tener algo que decir sobre esto. Kock de Ander ha desarrollado un enfoque teórico toposcópico de la Geometría Diferencial que incluye "objetos infinitesimales". Aquí hay una cita del libro de Kock Geometría Diferencial Sintética :

Definition 7.1. Un vector tangente a M , con el punto base x ∈ M (o adjunto a la x ∈ M ) es un mapa t : D → M con t(0) = x.

Esta definición se relaciona con una de las clásicas, donde una tangente vector en x ∈ M (M a manifold) es una clase de equivalencia de "caminos cortos" t : ( -ϵ, ϵ) → M con t(0) = x. Cada representante t : (-ϵ, ϵ) → M contiene información redundante, mientras que nuestra D es tan pequeña que una t : D → M da un vector tangente sin información redundante; por lo tanto, aquí, los vectores tangentes son infinitesimal caminos, de "longitud" D. Este es un caso especial de la característica de la geometría diferencial sintética que la noción de chorro se vuelve representable.

Dado que la teoría de Kock de la geometría diferencial es cartesiana cerrada, el haz tangente de un espacio M es sólo el objeto M^D.

Para un análogo del objeto D en Geometría Algebraica, podrías tomar Spec(k(x)/(x^2)), donde $k$ es algún campo. Entonces un morfismo de Spec(k(x)/(x^2)) a un esquema X es equivalente a un punto x de X racional sobre k y un elemento del espacio tangente zariski a x.

Así que aunque este enfoque de la geometría diferencial no es estándar, hay al menos una perspectiva en la que la idea del espacio tangencial se unifica: todas son instancias de colecciones de mapas de algún objeto de "intervalo infinitesimal" en su espacio.

Answer 4

Steven ya explicó un poco sobre la clave de la respuesta: La geometría diferencial sintética (cf. nLab donde también están presentes los indicios de una análoga más categórica), pero me gustaría ponerlo en una perspectiva mucho más amplia, aunque más en palabras y referencias que en la realidad, debido principalmente a los límites de espacio, tiempo y experiencia.

Si bien en varias de las respuestas anteriores se menciona el módulo (posiblemente relativo) de Diferenciales de Kähler que conduce a la versión algebraica del espacio cotangente utilizado en la geometría algebraica y analítica; esta noción parcial es un poco anterior al trabajo más fundamental de Grothendieck, que inventó una forma geométrica inherente para fundar un cálculo diferencial en la geometría. Al igual que la diferenciación en los espacios vectoriales topológicos, la idea básica es aproximar los mapas con mapas lineales, pero esta vez Grothendieck consideró los mapas entre las poleas de $\mathcal {O}$ -módulos sobre esquemas; describió la linealización en el lenguaje de operaciones sobre poleas en términos de vecindades infinitesimales de la diagonal $\Delta\subset X \times X$ Estos se describen en términos de elementos nilpotentes en la estructura de la gavilla; también se puede definir la noción conexa de puntos generalizados infinitesimalmente cercanos; los vecindarios infinitesimales construyen una filtración creciente, que induce una doble filtración en los espacios domésticos, la llamada filtración diferencial. La unión de la filtración diferencial es la parte diferencial del hom-bimodulo, y sus elementos son operadores diferenciales regulares. Una variante "cristalina" del cuadro relacionado con las potencias divididas conduce a un tratamiento adecuado del cálculo diferencial en las características positivas. La noción de cristal de poleas cuasicoherentes se basa en la noción de puntos generalizados infinitesimalmente cerrados; la imagen geométrica con retrocesos de poleas, lleva a una definición como una especie de datos de descenso, véase

• P. Berthelot, A. Ogus, Notas sobre la cohomología cristalina , Princeton Univ. Press 1978. vi+243.
• J. Lurie, Notas sobre cristales y algebraica $D$ -módulos en el seminario de Gaitsgory, pdf

Estos son un punto de vista dual sobre Módulos D . Los datos de descenso en el contexto abeliano equivalen a cierto operador de conexión formalmente definido, llamado La conexión de Grothendieck en este caso. Actualmente existen versiones abstractas de la correspondencia algebraica entre los datos de descendencia en el contexto abeliano y las conexiones de Kozsul plano para los complejos asociados de "Amitsur" (obra de Roiter, T. Brzeziński y otros, véase conexión para una extracción de núcleos ). Por otra parte, Grothendieck inmediatamente se le ocurrió una versión no lineal de los cristales (cristales de los esquemas) que son un punto de vista dual sobre lo que algunos llaman ahora Esquemas D .

El punto de vista de Grothendieck sobre el cálculo diferencial ha sido poco después del descubrimiento a finales de los años 50, introducido en los trabajos de Malgrange, Kodaira y Spencer en el desarrollo de la teoría de obstrucción y deformación para las ecuaciones diferenciales. Ambos trabajos juntos a finales del decenio de 1960 motivaron a Lawvere, Kock y Dubuc a ampliar ese enfoque geoquímico del cálculo diferencial a la geometría diferencial. Dubuc introdujo $C^ \infty$ -esquemas como otro enfoque de los m£ltiples, en el esp¡ritu de la teor¡a de los esquemas. Lawvere no sólo se fijó en los entonces recientes trabajos de Grothendieck (y Malgrange, Spencer...), sino también en los trabajos clásicos sobre "geometría sintética". Esta es una terminología que requiere precaución: en el siglo XIX y a principios del XX, lo sintético se consideraba diferente de lo coordinado, lo analítico, y se refería a cualquier trabajo a partir de axiomas, sin referirse a aspectos coordinados e incluso métricos, y algunas personas en la geometría descriptiva axiomática se refieren a su geometría como sintética incluso ahora en ese sentido "limpio", pero menos poderoso. Otro sentido es que está cerca del punto de vista de la ingeniería que la trayectoria de una partícula puede considerarse como un punto en el espacio de las trayectorias o como un mapa de intervalo en el espacio, lo que implica que los espacios de dimensiones infinitas de las trayectorias deben existir y uno debe tener la ley exponencial, es decir, necesitamos incrustar nuestra categoría de espacios en la categoría monoidal cerrada; hay muchos de estos incrustados de la categoría de los colectores disponibles ahora, y algunos modelos de ellos ofrecen el modelo $D$ de infinitesimales, lo que representa el functor de tomar el espacio tangente en particular. Este modelo se ha formado teniendo en cuenta el campo de los números duales de Grothendieck en la geometría algebraica, pero el lenguaje y la multiplicidad de modelos lo hicieron muy flexible en el enfoque de la geometría diferencial sintética de Kock y Lawvere. En primer lugar, tenían un enfoque axiomático independiente, así como el estudio de los modelos teóricos del topos; incluyendo el estudio de Cahiers topos que es aún más fiel al punto de vista de Grothendieck. En todos estos modelos, tenían infinitesimales nilpotentes, como en la teoría de esquemas, pero no como infinitesimales en el análisis no estándar. El enfoque más reciente de Moerdijk-Reyes ofrecían infinitesimales nilpotentes y no nilpotentes (aunque una posible variante relacionada con análisis no estándar no me es conocido). Para un geómetro diferencial hay muchas herramientas atractivas en la geometría diferencial sintética, como las simplificaciones infinitesimales, que permiten la intuición y la eficacia de muchas cantidades que implican formas y geometría diferenciales.

Por otra parte, la geometría diferencial habitual está fielmente integrada en los modelos sintéticos, por lo que uno está obligado a ser conservador, es decir, a no obtener resultados sobre las nociones habituales de la teoría de los múltiples que son incompatibles con las definiciones habituales. Uno sólo obtiene más poder intuitivo y técnico.

También debo mencionar que el cuadro de Grothendieck con los espesores infinitesimales, también conocidos como resoluciones de diagonales, que conducen al cálculo diferencial, puede extenderse a los espacios no conmutativos reordenados por categorías abelianas "de módulos cuasicoherentes". Esto se ha hecho en las preimpresiones de 1996

• V. A. Lunts, A. L. Rosenberg, Cálculo diferencial en geometría algebraica no conmutativa I. Cálculo D en anillos no conmutativos MPI 1996-53 pdf , II. D-Cálculo en la caja trenzada. La localización de las álgebras envolventes cuantizadas MPI 1996-76 pdf

La definición resultante de los anillos de operadores diferenciales regulares sobre los anillos no conmutativos se ha utilizado en el estudio hacia la correspondencia Beilinson-Bernstein para los grupos cuánticos en dos artículos publicados posteriormente, que sin embargo omiten la derivación geométrica de la definición de los operadores diferenciales utilizados:

• V. A. Lunts, A. L. Rosenberg, Operadores diferenciales en anillos no conmutables Selecta Math. (N.S.) 3 (1997), no. 3, 335--359 ( doi ); secuela: Localización de grupos cuánticos Selecta Math. (N.S.) 5 (1999), Nº 1, págs. 123 a 159 ( doi ).

Un análisis algo similar en la configuración infinito-categórica de una $( \infty ,1)$ -La versión de los Cuadernos Topos está en un reciente diploma de maestría.

• Herman Stel, ∞-Los golpes y sus álgebras de función - con aplicaciones a ∞-La teoría de la mentira , Utrecht 2010, página web , pdf

bajo la dirección de Urs Schreiber. Este trabajo conduce a una correcta teoría de las algroides de la Mentira Superior.

Answer 5

Los vectores tangentes en un manifold C^r se definen por mapeos de un intervalo abierto en el colector. Nos gustaría hacer algo similar en el contexto algebraico.

Por lo tanto, queremos considerar los mapas de la línea A^1 en un esquema X . Como estamos considerando los vectores tangentes en un punto fijo, podemos asumir que el mapa F : A^1 -> X mapea el origen hasta el punto dado de $X$ .

Por supuesto, esto no es del todo correcto, ya que debería ser suficiente para trazar un mapa de un barrio abierto del origen en A^1 para $X$ . La topología de Zariski es (contrariamente a la topología analítica de los colectores) bastante tosca, así que consideremos los barrios abiertos de étale T del origen A^1, que mapeamos para $X$ . Un vector tangente a X es entonces una clase de equivalencia de morfismos de vecindarios de étales puntuales T del origen de A^1 a X donde definimos la equivalencia de dos morfismos como en el caso de C^r, es decir cuando (después de restringirnos a un vecindario de cuento común $U$ ) los dos morfismos $f, g \colon U \to X$ tienen la propiedad que df y dg coinciden en el punto base de $U$ .

Esto da la noción correcta al menos en el caso de esquemas lisos de tipo finito sobre un campo (los esquemas no lisos definitivamente se comparan mal con los colectores): Cada uno de tales esquemas posee (al menos Zariski-localmente) un mapa de étale al espacio afín A^n_k. Esto permite mostrar que la definición anterior da el espacio tangente correcto, es decir, un n - una dimensión.

P.D.: Tratar de ir al revés utilizando la geometría diferencial sintética para imitar la definición algebraica en el contexto de la geometría diferencial no parece ser una solución ya que las funciones en SDG son siempre de clase $\mathcal C^ \infty$ .