Cómo demostrar que si $AB = A + B$ entonces $\frac{\lambda}{\lambda - 1}$ es un valor propio de $A$ ?

Question

Estoy luchando con un problema de álgebra lineal en el que tengo que demostrar eso:

Dado $AB = A + B$ et $ 1 \notin \sigma (A) \cup \sigma(B)$ donde $\sigma$ representan el espectro de una Matriz y $\lambda \in \sigma(B)$ entonces el cociente : $\frac{\lambda}{\lambda - 1}$ es un valor propio de A ( $\frac{\lambda}{\lambda - 1} \in \sigma(A)$ )

He demostrado antes que A es invertible si B es invertible, también me ha pedido que demuestre que :

$$\prod\limits_{\lambda_i \in \sigma(A)}(\lambda_i - 1) \prod\limits_{\lambda_i \in \sigma(B)}(\lambda_i - 1) = 1$$

Pero no he encontrado la forma de hacerlo, ¿cómo puedo probar ambas cuestiones?

Answer 1

$A(B-I) = B$ . Supongamos que $Bv = \lambda v$ entonces $A (\lambda-1) v = \lambda v$ o $Av = {\lambda \over \lambda -1} v$ .

Answer 2

Para ver $$\prod\limits_{\lambda_i \in \sigma(A)}(\lambda_i - 1) \prod\limits_{\lambda_i \in \sigma(B)}(\lambda_i - 1) = 1$$

fijar un $i$ y mira $$\begin{split} (\lambda_i-1)\left(\frac{\lambda_i}{\lambda_i-1}-1\right) &=\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i-1}-\left(\lambda_i+\frac{\lambda_i}{\lambda_i-1}\right)+1\\ &=\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i-1}-\left(\frac{\lambda_i(\lambda_i-1)}{\lambda_i-1}+\frac{\lambda_i}{\lambda_i-1}\right)+1\\ &=\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i-1}-\frac{\lambda_i^2-\lambda_i}{\lambda_i-1}-\frac{\lambda_i}{\lambda_i-1}+1\\ &=\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i-1}-\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i-1}+\frac{\lambda_i}{\lambda_i-1}-\frac{\lambda_i}{\lambda_i-1}+1\\ &=1 \end{split}$$

Hay un poco más que mostrar. Tendrás que demostrar también que cada valor propio de $A$ tiene la forma $\frac{\lambda}{\lambda-1}$ donde $\lambda$ es un valor propio de $B$ .

Answer 3

Para añadir a las respuestas anteriores, utilizando ese $1$ no es un valor propio de $B$ se puede demostrar que: \begin{align*} AB=A+B\Rightarrow A(B-I)=B\Rightarrow A=\frac{B}{B-I}\Rightarrow (B-I)A=B\Rightarrow BA=A+B\end{align*} Esto demuestra que la implicación $\lambda\in\sigma(A)\Rightarrow\frac{\lambda}{1-\lambda}\in\sigma(B)$ es en realidad un equivalencia . Utilizando la identidad del comentario de N8tron, la fórmula del producto es ahora muy fácil de demostrar.

Answer 4

Aquí hay una respuesta aún más fácil.

Dejemos que $x$ sea el vector propio asociado a $\lambda$ . Entonces $$ \lambda Ax = ABx = (A+B)x = Ax + Bx = Ax + \lambda x. $$ Esto implica que $$ (\lambda - 1) Ax = \lambda x $$ del que se desprenden los resultados con $x$ siendo un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda / (\lambda - 1)$ .