Si $x = A\mid B$ es un corte en $\mathbb{Q}$ , demuestran que $x = \text{l.u.b. } A.$

Question

La pregunta:

Si $x = A\mid B$ es un corte en $\mathbb{Q}$ , demuestran que $x = \text{l.u.b. } A.$

Las definiciones:

A cortar en $\mathbb{Q}$ es un par de subconjuntos $A, ~B$ de $\mathbb{Q}$ tal que

(a) $A \cup B = \mathbb{Q}, ~ A \neq \emptyset, ~ B \neq \emptyset, ~ A \cap B = \emptyset.$

(b) Si $a \in A \text{ and } b \in B \text{ then } a < b.$

(c) $A$ no contiene ningún elemento mayor.

El trabajo hasta ahora:

$A = \{ a \in \mathbb{Q} : a < x \}$

$B = \text{ rest of } \mathbb{Q}$

De la definición del corte se desprende que $x$ es un límite superior para $A$ . Mi idea era demostrar que si $x \neq \text{l.u.b. } A$ entonces debe existir $\epsilon > 0$ tal que para cada elemento $a \in A$ lo siguiente es válido

$a < x- \epsilon$

lo cual no puede ser cierto porque Insertar la razón y llegamos a una contradicción. Aquí es donde estoy atascado. Quiero decir "porque puedo encontrar $a \in A$ que es mayor que $x- \epsilon$ por cada $\epsilon$ "pero me siento muy incómodo con esto.

Acabo de empezar a estudiar análisis real y tengo muy poca experiencia en probar cosas, así que todo esto es nuevo para mí. Para este ejemplo en particular siento que no hay nada que demostrar, ya que si está claro por la definición del corte que $x$ es un l.u.b. por lo que una buena prueba completa me sería de gran ayuda.

Answer 1

Supongamos que $x$ no es el mínimo límite superior. Esto implica que existe un verdadero $y$ con $a < y< x$ para todos $a\in A$ .

Ahora puedes usar que entre dos números reales cualesquiera hay un racional (no sé qué axiomas estás usando exactamente en tu clase, pero esto debería estar demostrado). Así que hay $q\in\mathbb Q$ con $y<q<x$ .

Pero entonces $a<q$ para todos $a\in A$ Así que $q\in B$ . Esto contradice el hecho de que $q\in A$ (de $q<x$ ).

La contradicción muestra que no existe un límite superior para $A$ menos de $x$ Así que $x$ es el límite superior mínimo.