Tratando de encontrar triples pitagóricos para una proporción dada de $\frac{C}{A}$

Question

Quiero resolver una ecuación de proporción para $n$ en términos de $m$ y $R$ esperando, dado un Ratio y un rango de $m$ valores, que encontrar un número entero $n$ me dará la $m,n$ necesario para generar un triplete pitagórico donde $\frac{C}{A}$ tiene esa proporción.

Dado $A=m^2-n^2\qquad C=m^2+n^2$ $$\frac{C}{A}=\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}=R\implies Rm^2-Rn^2=m^2+n^2\implies (R+1)n^2+0n-m^2(R-1)=0$$

$$n=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{\pm\sqrt{4*(R+1)*m^2(R-1)}}{2(R+1)}=\frac{2m\sqrt{R^2-1}}{2(R^2-1)}=\frac{m\sqrt{R^2-1}}{R^2-1}$$

Si tomo el ejemplo de $f(2,1)=3,4,5$ , $R=\frac{5}{3}$ y $\frac{2\sqrt{\frac{25}{9}-1}}{\frac{25}{9}-1}=\frac{2\sqrt{\frac{16}{9}}}{\frac{16}{9}}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{16}{9}}=\frac{8*9}{3*16}=\frac{72}{48}=1.5$

¿Dónde está mi error?

Answer 1

En

$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{\pm\sqrt{4*(R+1)*m^2(R-1)}}{2(R+1)}=\frac{2m\sqrt{R^2-1}}{2(R^2-1)}=\frac{m\sqrt{R^2-1}}{R^2-1}$$

Al pasar de la segunda a la tercera parte, has introducido un factor extra de $R-1$ en el denominador, es decir, pasó de $2(R+1)$ a $2(R^2-1)$ . Así, con el manejo de los radicales positivos y negativos, el resultado correcto es

$$n = \pm\frac{m\sqrt{R^2-1}}{R+1} \tag{1}\label{eq1}$$

Así, con su ejemplo, utilizando $m = 2$ , $R = \frac{5}{3}$ en \eqref {eq1} da $n = \pm 1$ . Además, con sus resultados calculados, multiplicando $1.5 = \frac{3}{2}$ por $R - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ (para deshacer la división por $R-1$ en sus cálculos) da $1$ es decir, el valor correcto de $n$ .