Demuestre que para $x\geq 1$ y $c>0$ , demuestran que $\dfrac{1}{x}\leq x^{c-1}$

Question

He hecho la parte a, y supongo que de alguna manera debo usarla para hacer la parte b, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.

para la parte (a):

$a=1, b=n, f(x)=\dfrac{1}{x}$

Answer 1

En el caso de b), observe que para los valores positivos $x$ la desigualdad $\frac{1}{x}\le x^{c-1}$ equivale a $1\le x^{c}$ . Y esta última desigualdad se cumple si $x\ge 1$ .

Para c), por el resultado de b) y a), tenemos, tomando $c=1/2$ , $$\ln n=\int_1^n \frac{1}{x}\,dx \le \int_1^n x^{-1/2}\,dx=2n^{1/2}-2.$$ Dividir por $n$ . De ello se desprende que para $n\ge 1$ tenemos $$0\le \frac{\ln n}{n} \le\frac{2\sqrt{n}-2}{n}.$$ Ahora tome el límite como $n\to\infty$ .