Una serie de energía formal no nilpotente con coeficientes nilpotentes

Question

¿Alguien tiene un ejemplo de una serie de energía formal $$p=a_0+a_1x+ a_2x^2 + \cdots \in R[[x]]$$ ($R $ is a commutative ring) all of whose coefficients $ a_i $ are nilpotent in $R $ such that $p $ is not nilpotent in $r [[x]] $?

Sé que si $p$ es nilpotente en $R[[x]]$ entonces todos los %#% de #% son necesariamente nilpotente en $a_i$, pero no puedo averiguar de un ejemplo sencillo que demuestra que lo contrario no es cierto en general. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Considere la posibilidad de un entero $N\geq 2$, el polinomio anillo en infinidad de variables $\mathbb Q[T_1,T_2,T_3,\ldots, T_n,...]$ y su coeficiente de $$R=\mathbb Q[T_1,T_2,T_3,\ldots, T_n,...]/\langle T_1^N,T_2^N,T_3^N,\ldots, T_n^N,...\rangle=\mathbb Q[t_1,t_2,t_3,\ldots, t_n,...]$$ El poder formal de la serie de la serie de $p(x)=t_1x+t_2x^2+t_3x^3+\ldots+t_nx^n+\ldots \in R[[x]]$ claramente tiene todos sus coeficientes de nilpotent pero sin embargo, no nilpotent: esto no es trivial, pero ha demostrado en este artículo por Campos (Proc.AMS,Vol. 27, Número 3, Marzo De 1971).

Sin embargo, la prueba de que si $R$ es un anillo de carácter $p\gt 0$, una potencia de la serie $f(X)=\sum a_ix^i\in R[[x]]$ todos cuyos coeficientes $a_i$ son nilpotent sí es nilpotent iff las órdenes de nilpotence de la $a_i$'s son los siguientes : todos los $a_i^N=0$ para algunos entero $N$.
Por lo tanto, si usted reemplace $\mathbb Q$ $\mathbb F_p$ en el ejemplo anterior, el resultado formal de la serie de $p(x)$ es nilpotent.

Los campos del artículo es muy interesante y muy elemental: el nivel es el de los primeros capítulos de Atiyah-Macdonald Álgebra Conmutativa.

Answer 2

Por ejemplo, tome forma de $$ $$ R=\mathbb{Q}[t,t^{1/2},t^{1/3},\ldots]/(t) % serie power $p(x)=\sum_{n\geq 1} a_nx^n$, $a_n=t^{1/n}$. Lo dejo a usted para ver que $p(x)$ no es nilpotente.