si $d_f \neq 0$ entonces f es una inmersión

Question

A menudo veo en mi curso de geometría diferencial que $d_f$ el diferencial de una función suave $f$ es sumersivo si $d_f \neq 0$ .

¿Es esta una afirmación verdadera? En caso afirmativo, ¿cómo podríamos demostrarlo?

No he encontrado ninguna pista en la literatura.

Gracias.

Answer 1

Supongo que querías decir sumergible no surjective .

Supongo que $f$ es un de valor real mapa de un colector $M$ para que $\mathrm{d}f$ no desaparece si, y sólo si $\mathrm{d}f_x$ es suryente para todo $x$ en el colector. De ahí el resultado.

Observación. Una forma lineal es suryente si, y sólo si, es distinta de cero.

Answer 2

Un mapa lineal de un espacio vectorial real a $\mathbb R$ es suryente si y sólo si no es el mapa cero. Creo que lo que preguntas se reduce a esto.

No lo has mencionado, pero supongo que te refieres a $f$ para ser una función suave de una variedad suave $M$ al colector $\mathbb R$ . Decir que $f$ es una inmersión es decir que el mapa del espacio tangente $df_m:T_m(M) \rightarrow T_{f(m)}(\mathbb R)$ es suryente en cada punto $m \in M$ .

Cada espacio $T_{f(m)}(\mathbb R) \cong \mathbb R$ es unidimensional, y su hipótesis es que cada mapa lineal $df_m$ no es el mapa cero, así que ahí tienes.

Answer 3

Supongamos que $f : M \to \Bbb{R}$ es una función suave de valor real. Su diferencial $df_p$ (o $d_f$ ) es un mapa lineal $df_p : T_pM \to T_{f(p)}\Bbb{R} \cong \Bbb{R}$ entre espacios tangentes, tomando vectores tangentes $v \in T_pM$ a los vectores $df_p(v)$ (o un número real por identificación $T_{f(p)}\Bbb{R} \cong \Bbb{R}$ ) en $f(p) \in \Bbb{R}$ . Un mapa suave $f$ se llama $\textbf{submersion}$ si $df_p$ es suryente para cualquier $p \in M$ .

Supongamos que $df_p : T_pM \to \Bbb{R}$ es el diferencial en $p$ .

Si $df_p$ es sobreyectiva, entonces es obviamente no nula.

Si $df_p $ es distinto de cero (significa que no todos los $v \in T_pM$ asignada a $0$ ) entonces debe ser sobreyectiva ya que si $df_p(v_0) = a \neq 0$ para algunos $v_0 \in T_pM$ , entonces cualquier $c \in \Bbb{R}$ tenemos un vector $v :=\frac{c}{a} v_0$ tal que $df_p(v) = c$ .