Encontrar combinaciones lineales y verificar mediante la matriz aumentada.

Question

Estaba intentando esta pregunta.

Es $w=(-12,20)$ una combinación lineal de $v_1 =(-1,2)$ y $v_2=(4,-6)$ ?

Entiendo que tiene que hacer lo siguiente: $$w = c_1v_1 +c_2v_2 \\ (-12,20)= c_1 (-1,2) + c_2 (4,-6)$$ y ponerlo en un sistema como:

\begin{cases}-c_1 + 4c_2 = -12 \\ 2c_1- 6c_2 = 20 \end{cases} y para asegurarse de que el sistema tiene una solución y es consistente y, finalmente, para verificar que el sistema tiene una solución única, se debe utilizar la matriz aumentada para encontrar $c_1 \text{and} c_2$ Sin embargo, aquí es donde estoy atascado, he utilizado la matriz aumentada y he hecho las operaciones de fila pero puede alguien ayudarme a extraer los valores de la matriz aumentada Las operaciones de fila que hice fueron :

-1 2 |1 0
4 -6 |0 1
R1=3R1+R2
1 0 | 3 1
4 -6| 0 1
R2=4R1-R2
1 0 | 3 1
0 -6| 12 3
R2=R2/-6
1 0 | 3 1
0 1 | -2 -1/6

Gracias por adelantado.

Answer 1

Al escribir el sistema $$\tag{1} \eqalign{ \color{maroon}{-1}\cdot c_1+\color{darkgreen}4c_2&=\color{darkblue}{-12}\cr \color{maroon}2c_1\color{darkgreen}{-6}c_2&=\color{darkblue}{20} } $$ como una matriz aumentada: $$\tag{2} \left[ \matrix{\color{maroon}{ -1}&\color{darkgreen}4 \cr\color{maroon} 2&\color{darkgreen}{-6}} \biggl| \matrix{\color{darkblue}{-12}\cr \color{darkblue}{20}}\right] $$

Esencialmente estás escribiendo el sistema original, pero no estás escribiendo las variables ni el signo de igualdad. En $(2)$ los términos rojos son los coeficientes de la variable $c_1$ en el sistema de ecuaciones $(1)$ . Así que la columna uno de $(2)$ es el '' $c_1$ -columna". Del mismo modo, la segunda columna de $(2)$ es el '' $c_2$ -columna" y la tercera columna corresponde a las constantes del lado derecho de las igualdades del sistema de ecuaciones $(1)$ .

Realizar una operación de fila en la matriz $(2)$ corresponde a realizar la misma operación en el sistema.

Una forma reducida de la matriz aumentada $(2)$ es

$$\tag{3} \left[ \matrix{\color{maroon}{ -1}&\color{darkgreen}4 \cr\color{maroon} 0&\color{darkgreen}{2}} \biggl| \matrix{\color{darkblue}{-12}\cr \color{darkblue}{-4}}\right] $$ Esto se obtuvo sumando dos veces la fila uno a la fila dos. (Obsérvese que esto corresponde a sumar dos veces la ecuación uno a la ecuación dos en el sistema de ecuaciones $(1)$ .)

Traducir la matriz $(3)$ al sistema de ecuaciones correspondiente:

Fila uno de $(3)$ da $\color{maroon}{-1}c_1+\color{darkgreen}4c_2=\color{darkblue}{-12}$

Fila dos de $(3)$ da $\color{maroon} 0c_1+\color{darkgreen}2c_2=\color{darkblue}{-4}.$

Podrías reducir $(3)$ además a

$$\tag{4} \left[ \matrix{\color{maroon}{ 1}&\color{darkgreen}0 \cr\color{maroon} 0&\color{darkgreen}{1}} \biggl| \matrix{\color{darkblue}{ 4}\cr \color{darkblue}{-2}}\right] $$ Y el sistema correspondiente sería $\eqalign{\color{maroon}1c_1 +\color{darkgreen}0 c_2&=\color{darkblue}4\cr \color{maroon}0c_1+\color{darkgreen}1c_2&=\color{darkblue}{-2} }$ o simplemente $c_1=4$ , $c_2=-2$ .

Ten en cuenta que escribir

$$ \left[ \matrix{\color{maroon}{ a}&\color{darkgreen}b \cr\color{maroon} c&\color{darkgreen}{d}} \biggl| \matrix{\color{darkblue}{ e}\cr \color{darkblue}{f}}\right] $$

es la notación abreviada para escribir $$ \eqalign{\color{maroon}a\,c_1 +\color{darkgreen}b\, c_2&=\color{darkblue}e\cr \color{maroon}c\,c_1+\color{darkgreen}d\,c_2&=\color{darkblue}{f} }. $$

Answer 2

Observa que tu sistema de ecuaciones lineales en la ecuación matricial $AX=B$ se vería así:

$$\begin{bmatrix} -1 & 4 \\2 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\c_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-12\\20 \end{bmatrix}$$ La matriz aumentada $[A,B]$ debería ser así:

\begin{bmatrix} -1 & 4 &-12\\2& -6 &20 \end{bmatrix}

Obsérvese que la transformación de fila elemental $R_2 \leftrightarrow R_2+2R_1$ lleva la matriz a la forma Row-Echelon:

$$\sim \begin{bmatrix} -1 &4 &-12\\0 &2 &-4 \end{bmatrix}$$

Ahora, observa que, tu ecuación matricial es equivalente a $$\begin{bmatrix} -1 & 4 \\0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12\\-4 \end{bmatrix}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Así que, $c_2=-2$ y por lo tanto $c_1=4$ . Esto significa que $(-12,20)$ es una combinación lineal de $(-1,2)$ y $(4,-6)$ . $\blacksquare$