ecuación funcional $f(x^2)=xf(x)$

Question

Esto debe ser ampliamente conocido, pero no lo es para mí. ¿Cuál es la solución de la ecuación funcional $f(x^2)=xf(x),\,\forall x\in\mathbb R$ o para $x$ en un campo finito? ¿Qué ocurre cuando $f$ es continua o diferenciable cuando $x\in\mathbb R$ ? Obviamente $f(x)=ax$ para alguna constante $a$ es una solución. No es la solución única para la primera pregunta mientras que no sé cómo demostrar la unicidad para la segunda si es única para la segunda.

Answer 1

Supongamos que $f(x)\ge0$ para $x>1$ . Sea $2^{g(x)}=f(2^{2^x})$ . Entonces tenemos

$$g(x+1)=g(x)+2^x$$

Ahora dejemos que $g(x)=h(x)+2^x$ para conseguir

$$h(x+1)=h(x)$$

Es decir, tomemos cualquier función 1-periódica para $h$ y tendrá una solución para $f$ cuando $x>1$ . Se puede construir la función sobre los negativos utilizando $f(-x)=-f(x^2)/x$ y otra solución para $|x|<1$ de la misma manera considerando $f(2^{-2^x})$ . Como los casos en que $|x|=1$ no dependen de otros valores, también pueden definirse por sí solos.

Suponiendo que $f(x)<0$ podemos utilizar el mismo procedimiento pero con $2^{g(x)}=-f(2^{2^x})$ o también como se ha indicado anteriormente.

Una solución de ejemplo, no de la forma proporcionada:

$$h(x)=\sin(2\pi x)$$

$$g(x)=\sin(2\pi x)+2^x$$

$$f(x)=2^{\sin(2\pi\log_2(\log_2(x)))}x$$

que claramente no es lineal.

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Tenga en cuenta que el requisito de continuidad requiere $\lim_{x\to-\infty}h(x)$ para existir, y por lo tanto debe ser constante en tal caso.

Answer 2

Cuando $f$ es continua, consideramos la secuencia $x_n = x^{1/2^n}$ que tiende a $1$ para cualquier $x$ . Podemos demostrar que $f(x^{2^n}) = x^{2^n - 1} f(x)$ . Por ejemplo, $f(x^4) = x^2 f(x^2) = x^3f(x)$ . De ello se desprende que

$$f(x) = f(x_n^{2^n}) = x_n^{2^n - 1}f(x_n) \to xf(1).$$

También tenemos $f(0) = 0f(0) = 0$ y $$f(-x) = \frac{1}{-x}(-xf(-x)) = \frac{1}{-x} f(x^2) = \frac{1}{-x}(xf(x)) = -f(x).$$

Por lo tanto, si $f$ es continua, entonces $f(x) = xf(1)$ así que $f$ es lineal.

Answer 3

Tenemos

$$ f\left(e^{\ln x^2}\right)-xf\left(e^{\ln x}\right)=0 $$

o

$$ F(2\ln x)-x F(\ln x) = 0 $$

ahora haciendo $z = \ln x$ tenemos

$$ F(2z) - e^z F(z)=0 $$

y lo siguiente

$$ F\left(2^{\log_2 (2z)}\right)-e^z F\left(2^{\log_2 z}\right) = 0 $$

o

$$ \mathbb{F}(\log_2 z+1) - e^z \mathbb{F}(\log_2 z) = 0 $$

ahora haciendo $u = \log_2 z$ tenemos

$$ \mathbb{F}(u+1) - e^{2^u} \mathbb{F}(u) = 0 $$

que resolvió proporcionar

$$ \mathbb{F}(u) = \Phi(u)e^{2^u} $$

donde $\Phi(u)$ es una función periódica genérica con periodo $1$ como por ejemplo $\Phi(u) = \cos(2\pi u)$ Ahora volviendo $\mathbb{F}\to F\to f$ llegamos a

$$ f(x) = \Phi(\log_2(\ln x)) x $$