Si $u \in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ se anula en el infinito, entonces $Ku$ también se anula en el infinito.

Question

Dado $X \subset \mathcal{C}(\mathbb{R})$ el subconjunto de funciones que se anulan en el infinito, es decir $\ u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$\lim_{x \to \pm\infty} u(x) = 0$$ Para $k \in L^{1}(\mathbb{R})$ y $K : X \to \mathcal{C}(\mathbb{R})$ tal que $$(Ku)(x) = \int_{\mathbb{R}} k_y(x) u(y) \ dy = \int_{\mathbb{R}} k(x-y) u(y) \ dy$$ quiero mostrar que $Ku$ también se anula en el infinito, de modo que $K$ mapea de $X$ en $X$. Ya he demostrado que $u$ es uniformemente continua y que $K$ es lineal y acotado, es decir $\|K \|_{op} \leq \|k \|_{L^{1}}$, pero me quedé atascado en esa parte.

Answer 1

Para $\epsilon>0$, elige un $\varphi\in C_{00}$ tal que $\|k-\varphi\|_{L^{1}}<\epsilon$, entonces \begin{align*} |(Ku)(x)|&=\left|\int k(z)u(x-z)dz\right|\\ &=\left|\int(k(z)-\varphi(z))u(x-z)dz+\int\varphi(z)u(x-z)dz\right|\\ &\leq\|u\|_{L^{\infty}}\|k-\varphi\|_{L^{1}}+\left|\int\varphi(z)u(x-z)dz\right|. \end{align*} Es suficiente controlar $\displaystyle\int\varphi(z)u(x-z)dz$.

Sea $M>0$ tal que $\text{supp}(\varphi)\subseteq\{|x|\leq M\}$ y que $|u(w)|<\epsilon/(1+\|\varphi\|_{L^{1}})$ para todo $|w|\geq M$. Para todo $|x|\geq 2M$ y $|z|\leq M$, entonces $|x-z|\geq|x|-|z|\geq 2M-M=M$, así que $|u(x-z)|<\epsilon$, pero entonces \begin{align*} \left|\int\varphi(z)u(x-z)dz\right|&=\left|\int_{|z|\leq M}\varphi(z)u(x-z)dz\right|\\ &\leq\int_{|z|\leq M}|\varphi(z)||u(x-z)|dz\\ &\leq\dfrac{\epsilon}{1+\|\varphi\|_{L^{1}}}\cdot\int_{|z|\leq M}|\varphi(z)|dz\\ &\leq\dfrac{\epsilon}{1+\|\varphi\|_{L^{1}}}\cdot\|\varphi\|_{L^{1}}\\ &<\epsilon, \end{align*} lo cual también es pequeño.