Estoy leyendo un libro en el que en una escena un mago/alquimista teletransporta un pergamino después de leer.
Dobló el pergamino con cuidado y murmuró un único cantrip. La nota se desvaneció con un pequeño plop de aire desplazado uniéndose a los demás en un lugar seguro.
Eso me hizo preguntarme cuánto aire habría que desplazar para que la entrada de aire genere algún sonido. ¿Es un audible " plop "¿Suena posible?
La intensidad del sonido se mide en la escala de dB, que es una escala logarítmica de presión. El "umbral de audición" viene dado por el gráfico siguiente:
que indica (aproximadamente) que 0 dB es "lo más bajo que se puede llegar", el "umbral de audición". Ten en cuenta que la señal sonora disminuye con la distancia; tendremos que tenerlo en cuenta en lo que sigue.
Si de repente se crea un vacío de un cierto volumen V, el aire que se precipita para llenar el vacío creará una onda de presión (negativa) que se desplaza hacia fuera; para simplificar, hagamos que el vacío sea esférico y "escuchemos" el plop a una distancia de 1 m (donde el observador podría estar parado cuando el pergamino desaparece).
El problema con el que nos encontramos es que el "paso" de la presión no es un tono de una sola frecuencia, sino que es, en efecto, la suma de muchas frecuencias (piensa en la transformada de Fourier), por lo que tendríamos que estimar qué porcentaje de la energía se encuentra en el rango audible.
Eso es difícil de hacer, y estamos hablando de magia, así que voy a simplificar. Un nivel de presión de 0 dB corresponde a $2\times 10^{-5} Pa$ - es una presión muy pequeña.
El pergamino es grueso, digamos que 0,2 mm, es decir, aproximadamente el doble del grosor del papel convencional (una pila de 500 hojas tiene un grosor de unos 5 cm, así que estimo que son 0,1 mm por hoja). Para un papel de tamaño carta, 30 x 20 cm 2 el volumen es de 12 cm 3 . Si eso fuera una esfera, esa esfera tendría un radio de ${\frac{12 cm}{(4/3) \times \pi}}^{1/3}$ = 1,4 cm.
Si esa esfera "desapareciera" de repente, tendría que entrar un volumen igual de aire. A una distancia de 1 m, la caída de presión aparente sería
$$\begin{align}\\ \Delta P &= \frac{r_1^3}{r_0^3}\times P_{ambient}\\ &=0.3 Pa\\ \end{align}$$
Se trata de un estallido muy fuerte, de unos 80 dB. Incluso si argumentamos que sólo una pequeña fracción de esta presión termina en el rango audible, no hay duda en mi mente de que escucharías "algo".
Así que sí, puedes oír cómo desaparece el pergamino. No hay problema. Incluso si algunas de mis aproximaciones están fuera por un factor 10 o más. Nos sobran unos 5 órdenes de magnitud.
AFTERTHOUGHT
Si alguna vez has jugado con un altavoz "desnudo" (me refiero a fuera del recinto, es decir, algo como esto de greatplainsaudio.com):
habrá notado que la membrana se mueve visiblemente cuando suena la música, y al bajar el volumen, el movimiento se vuelve imperceptible mientras se sigue oyendo el sonido. Eso es, en esencia, lo que estás haciendo aquí. El nivel de sonido que se obtiene sería similar al que se registra cuando se mueve la membrana de un altavoz unos 0,2 mm. Te garantizo que lo oirías. Podría ser divertido hacer el experimento... Tendré que ver si tengo uno viejo por ahí y podría probarlo yo mismo.
ACTUALIZACIÓN No tengo tiempo para jugar con los altavoces, pero pensé en hacer el cálculo "¿cuál es el menor movimiento de aire que da lugar a un sonido que el oído humano puede escuchar?".
De nuevo, esto va a ser aproximado. Supongamos unos auriculares de oído con una membrana de 8 mm que se acopla a un orificio de 3 mm. Sólo por la relación de áreas, podemos ver que los niveles de sonido se amplificarán: un movimiento de $x$ por la membrana moverá el aire en el agujero del oído por $x\left(\frac{8}{3}\right)^2$ . La ecuación que relaciona el movimiento de la membrana con la presión producida es:
$$\Delta p = (c\rho\omega )s$$
En palabras: el cambio de presión es el producto de la velocidad del sonido, la densidad del aire, la frecuencia y la amplitud de la vibración.
Utilizando $c = 340 m/s$ , $\rho = 1.3\ kg/m^3$ , $\omega = 2\pi\times1\ kHz$ y $\Delta p = 2\times10^{-5} Pa$ (el límite del sonido audible a 1 kHz), encontramos que
$$s = 7.2\times10^{-12}m$$
Y eso es antes de tomar el factor $\left(\frac{8}{3}\right)^2$ lo que reduciría la amplitud requerida a una asombrosa $1.0\times10^{-12} m$ - que es más pequeño que el movimiento de un átomo.
Puede ver la derivación de lo anterior en http://www.insula.com.au/physics/1279/L14.html y si buscas el problema # W4 en esa página encontrarás el cálculo para un nivel de presión de 28 mPa a 1 kHz dando 11 nm de amplitud de desplazamiento. Dado que el límite del nivel sonoro detectable es unas 1000 veces menor, mis cifras anteriores son bastante razonables.
Así que la respuesta real a tu pregunta "de cabecera" ("cuánto aire hay que desplazar para generar un sonido audible") es
El equivalente a una capa de átomos es más que suficiente
Impresionante, lo sensible que es el oído. Y los murciélagos y los perros tienen un oído aún mejor, según me han dicho.
Sugiero un enfoque totalmente diferente. Pero es sólo un enfoque parcial con muchas conjeturas, también.
El oído es capaz de percibir 20 µPa. (a 2 kHz). Por supuesto, se podrían calcular algunos cambios de presión en el vacío de cierre, pero en realidad no tienen nada que ver con la presión sonora en el tímpano.
Hagamos algunos cálculos de energía. 20 µPa en un área de 1 cm² en su tímpano corresponde a $10^{-17} W$ . Su oído necesita $0.1 s$ tiempo de integración a esta presión sonora para generar una señal utilizable. Así que $10^{-18} J$ es la energía mínima que se puede percibir.
Un vacío liberará algo de energía al colapsar. Podemos calcular el orden de magnitud fácilmente, si suponemos un vacío cuya dimensión es significativamente menor que las otras dos. Entonces la fuerza que actúa sobre la gran superficie del vacío se calcula:
$F=p \cdot A$ . La energía almacenada se deriva del grosor $d$ . $E=d \cdot p \cdot A$
Si suponemos que el estallido se produce directamente delante de nuestro tímpano dirigiendo toda la energía sonora sobre el tímpano generando sólo frecuencias audibles, podemos calcular el tamaño mínimo absoluto del vacío.
Esto da lugar a un vacío de $10^{-23} m³$ o $10^{-14} mm³$ . que de hecho es un volumen muy pequeño.
Actualización: Las estimaciones comienzan aquí. Los valores anteriores son limitaciones duras debido a consideraciones energéticas. es imposible generar sonidos audibles con volúmenes de implosión más pequeños.
Ahora podríamos empezar a estimar cuánto más grande tiene que ser este cubo para compensar la mayor parte de la energía que se pierde a través de
Si esa señal emerge a 1 m de tu oído necesitas 120000 veces la energía, porque tu tímpano sólo capta la energía que pasa $1 cm²$ de la superficie de una esfera de 1m de radio. Si se supone un 1% de eficacia, lo que no es raro en los altavoces eléctricos que son mucho más pequeños que la longitud de onda que se desea emitir, el factor aumenta a 12.000.000. El resultado es $10^{-8} mm³$ que es un cubo con $4.6 µm$ longitud o cualquier extensión que se pueda derivar de ello.
Actualización Esta consideración tiene ya algunas incertidumbres.
Supongo que puede ser útil echar un vistazo más de cerca a los mecanismos de un vacío que colapsa. Me opongo firmemente a que una membrana de altavoz sea un modelo válido para estos mecanismos, principalmente debido a la gran masa de una membrana de altavoz.
Actualización Quiero sumergirme un poco en la dinámica del gas del vacío de cierre. Cómo se acelera el aire cuando aparece el vacío?
Al principio, hay una frontera muy marcada entre el aire de 1 atm y el vacío. Por lo tanto, hay una diferencia de unos 100.000 Pa. Las moléculas de aire tienen aproximadamente una distancia media de 33 nm y la primera capa de moléculas en esa frontera es acelerada por la presión. Una sola molécula utiliza una superficie de $0.9 \cdot 10^{-15} m²$ . Por lo tanto la fuerza sobre esa molécula es $10^{-11} N$ . Suponiendo una masa de molécula de 28 u (nitrógeno) la aceleración resultante es $1.9 \cdot 10^{15} \frac{m}{s²}$ .
Supongamos además, que la aceleración disminuirá rápidamente debido a la expansión a una milésima parte de esta a $1.9 \cdot 10^{-12} \frac{m}{s²}$ . Entonces el vacío de 0,1 mm se cerrará en 0,2 ns.
Tengo muchas dudas respecto a esta estimación porque no tengo ni idea de cómo se comportará realmente un frente de gas presurizado en el vacío. Pero creo que el vacío se cerrará con al menos la velocidad del sonido, quizás incluso mucho más rápido. Lo que me lleva de nuevo a la suposición de que la mayor parte de la energía se convertirá en ultrasonidos inaudibles.
Actualización Intento explicar por qué considero que la velocidad de cierre del vacío es fundamental para la audibilidad del evento.
Si consideramos la primera estimación (cierre del vacío en 0,2 μs), y estimamos algún rebasamiento, que amplía la duración del evento a 0,4 μs, podemos hacer una transformada de Fourier. (Felicitaciones a Floris por esta sugerencia)
$\mathcal{F}(\operatorname{rect}(a t))(f)= \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$
con $a = 2.5 \cdot 10^6$ obtenemos
$0.4 \cdot 10^{-6} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{2.5 \cdot 10^6}\right)$
El primer cruce por cero se encuentra a 400 kHz, que está un orden de magnitud por encima del rango audible, lo que significa que podemos asumir un espectro casi plano en ese rango. Si intentamos integrar el espectro de potencia,
$\int\limits_{20}^{20000} 0.16 \cdot 10^{-12} \operatorname{sinc}^2\left(\frac{f}{2.5 \cdot 10^6}\right) df$
es mejor que utilicemos una aproximación, porque ni el sinc se puede integrar analíticamente ni su cuadrado (por favor, corregidme si me equivoco)
Se produce más o menos $\frac{20000}{2.5 \cdot 10^{6}}$ (pero aquí no estoy tan seguro).
En mi opinión, esto significa que sólo el 0,8% de la energía de la señal estará en el rango audible. Si limitamos la gama a la parte más sensible en torno a los 2 kHz, suponiendo un ancho de banda reducido de 1 kHz, la energía percibida disminuye al 0,04% de toda la señal.
Si se reduce aún más la duración del pulso (tiempo de colapso del vacío), la parte audible de la energía sonora emitida también disminuye.
más malabares numéricos por venir
¡Enhorabuena al que pregunta por pensar en todo lo que lee! :-)
Me complace observar que el autor de la respuesta anterior mencionó que "audible" significa "audible" para el oído humano. También hay que tener en cuenta que "audible" también depende un poco de la frecuencia... en general, como humanos, para los sonidos de alta frecuencia los necesitamos un poco más intensos si queremos oírlos.
Tal vez estoy pensando de forma demasiado simplista, pero el umbral de audición para los humanos es un cambio de presión de unos 20 micropascales, (eso es a una frecuencia de 1000 Hz, o cerca del llamado "Do soprano", por interés). Este cambio de presión corresponde a un cambio de volumen de aproximadamente 0,00002 del volumen inicial. Como el volumen de una hoja de papel es de unos 5,846x10^{-6} metros cúbicos, y el volumen de la habitación es de unos 75 metros cúbicos (suponiendo una habitación de tamaño normal), me sale que la desaparición repentina de un trozo de papel cambiaría el volumen de la habitación en unos 6x10^{-8} de su volumen. Así que en realidad no se produciría un cambio de presión audible.
Eso me parece mal, porque, al igual que los otros contestadores de preguntas, también esperaría que se pudiera escuchar la desaparición de un trozo de papel (¡un pensamiento loco!). Quizás también se podría pensar en términos de conservación de la energía. Si un trozo de papel desapareciera, seguramente tienen para obtener un sonido, ya que la energía que formaba el trozo de papel tendría que "ir a alguna parte". ¿Quizás podríamos calcular el nivel de sonido asociado a partir de eso? Es divertido.
Lo que sigue no es mi propia investigación, sino que está tomado del maravilloso "what-if" de Randall Munroe El vaso medio vacío " donde describe un vaso de agua, la mitad inferior llena de agua, la mitad superior llena de vacío (o: nada).
(editado para excluir las otras dos copas)
Pero, ¿y si la mitad vacía del vaso estuviera realmente vacía, un vacío? (Podría decirse que incluso el vacío no está realmente vacío, pero eso es una cuestión de semántica cuántica).
El vacío definitivamente no duraría mucho.
Imaginaremos que los vacíos aparecen en el tiempo t=0 .
Durante el primer puñado de microsegundos, no pasa nada. En esta escala de tiempo, incluso las moléculas de aire son casi estacionarias.t=50µs En su mayor parte, las moléculas de aire se agitan a velocidades de unos cientos de metros por segundo. Pero en un momento dado, algunas se mueven más rápido que otras. Las más rápidas se mueven a más de 1000 metros por segundo. Éstas son las primeras que se desplazan hacia el vacío.
t=150µs Mientras el agua de la superficie empieza a hervir, el aire que entra lo detiene antes de que se ponga en marcha.
t=400µs Al cabo de unos cientos de microsegundos, el aire que se precipita al interior del vaso llena por completo el vacío y embiste la superficie del agua, enviando una onda de presión a través del líquido. Los lados del vaso se abomban ligeramente, pero contienen la presión y no se rompen. Una onda de choque reverbera a través del agua y vuelve al aire, uniéndose a las turbulencias que ya existen.
t=1ms La onda expansiva del colapso del vacío tarda aproximadamente un milisegundo en extenderse [varios centímetros]. En unos pocos milisegundos más, llega a los oídos de los humanos como un fuerte golpe .
Mientras asume un vacío dentro de un vaso sobre el agua en lugar de sólo en el aire, también concluye un fuerte golpe pasará por la cantidad de vacío que eligió. (media taza).
Tomaré esto como apoyo a los cálculos de Floris.
A efectos prácticos, podemos suponer que la desaparición de un objeto de 1,2 cm cúbicos (1,2 ml) da una forma de onda muy similar a la aparición repentina de un objeto de 1,2 ml, excepto por el signo de la onda de presión resultante.
Ahora bien, tenemos un medio sencillo para crear ese efecto: al hacer estallar la pólvora se produce de repente una gran cantidad de gas. Sólo se necesitan unos pocos miligramos. La activación de un gramo de pólvora produciría 300 ml de gas, pero también produciría un sonido que puede alcanzar los 140 dB (!)
Así que básicamente estamos ante una onda sonora 250 veces menos energética que los 140 dB. Como los dB son una escala logarítmica, tenemos que deducir 10*log(250), que son unos 25 dB. Así que el sonido sería de 115 dB. Sigue siendo bastante fuerte.
El principal problema de esta afirmación es que los decibelios funcionan bien para describir la potencia continua, pero una onda como ésta es muy muy corta. Ni siquiera se puede promediar la energía en un periodo de la onda, porque no hay periodicidad.
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