Integral no convergente que debería ser 0

Question

Una pregunta requiere que se demuestre que $$\int_0^\infty f(\frac{x}{a}+\frac{a}{x})\frac{\ln{x}}{x}dx=\ln{a}\int_0^\infty f(\frac{x}{a}+\frac{a}{x})\frac{1}{x}dx...........(1)$$

Hice la sustitución x=at, y dividí el logaritmo resultante $\ln{at}$ en la integral en dos, y obtuvimos que la integral de la izquierda sea $$\ln{a}\int_0^\infty f(t+\frac{1}{t})\frac{1}{t}dt+\int_0^\infty f( t+\frac{1}{t})\frac{\ln{t}}{t}dt.......... (2)$$ Ahora, cuando sustituyes las variables en el primer término anterior, obtienes el valor de la derecha en la ecuación 1. Así que el segundo término de la integral 2 debe ser 0.

Pero no puedo integrar ese segundo término, y cuando ejecuté ese término en WolframAlpha, salió como 0 para $f(x)=sin(x)$ pero ni siquiera converge para $f(x)=cot(x)$ o $log(x)$ .

Así que he metido la pata en alguna parte. ¿Puede alguien ayudarme a saber dónde y cómo?

Answer 1

Si se fija $g(t) := f\left(t+ \frac{1}{t}\right)\frac{\ln(t) }{t}$ se puede dividir el segundo término de (2) como $$ \int_0^1 g(t)\,dt+ \int_1^{\infty} g(t)\,dt $$

y observar que $\int_0^1 g\left(t\right)\,dt =-\int_1^{\infty} g(t)\,dt $ utilizando la sustitución $x=\frac{1}{t}$ .
(Aquí, $\int_0^1g(t)\,dt=\int_{\infty}^1 g(\frac{1}{t})\,d(\frac{1}{t})=\int_{\infty}^1f(t+\frac{1}{t})t (-\ln{t}).\frac{-1}{t^2}\,dt=-\int_1^{\infty}g(t)\,dt$ ).
Así, sumando las dos integrales se obtiene $0$ .

Creo que en los dos últimos intentos que has hecho la integral no es convergente, de ahí que los dos términos anteriores sean infinitos y la prueba deje de ser cierta. Deberías añadir la convergencia de la integral en tu hipótesis.

Answer 2

Sustituir $x=\frac{a^2}t$ \begin{align} I=& \int_0^\infty f(\frac{x}{a}+\frac{a}{x})\frac{\ln{x}}{x}dx\\ = &\int_0^\infty f(\frac{t}{a}+\frac{a}{t})\frac{\ln{a^2}-\ln t}{t}dt\\ = &2\ln{a}\int_0^\infty f(\frac{t}{a}+\frac{a}{t})\frac{1}{t}dt-I\\ = &\ln{a}\int_0^\infty f(\frac{t}{a}+\frac{a}{t})\frac{1}{t}dt \end{align}