Sin responder a esta pregunta sobre la prueba de Hatcher, menciono que la prueba del Teorema de Aproximación Celular en la sección 7.6 de mi libro "Topología y groupoides" utiliza no subdivisiones simpliciales, sino sólo cúbicas, y puedes encontrar la misma prueba en ediciones más antiguas de este libro, con títulos diferentes, que pueden estar en tu biblioteca. La tomé hace tiempo de las notas manuscritas de J.F. Adams. (La prueba dada se restringe al caso de complejos celulares finitos, pero la topología en el caso general está dispuesta de tal manera que la misma prueba se cumple). Aquí está el paso clave.
Las siguientes afirmaciones son ciertas para cada $n \geqslant 1$ .
$\alpha(n)$ Cualquier mapa $S^r \to S^n$ con $r < n$ es esencial.
$\beta(n)$ Cualquier mapa $S^r \to S^n$ con $r < n$ extiende sobre $E^{r+1}$ .
$\gamma(n)$ Dejemos que $B$ sea un camino conectado y que $Q$ se forman uniendo un número finito de $n$ -células a $B$ . Entonces cualquier mapa $$ (E^r,S^{r-1}) \to (Q,B)$$ con $r<n$ es deformable en $B$ .
La prueba es por inducción mediante las implicaciones $$ \gamma(n) \Rightarrow \alpha(n) \Leftrightarrow \beta(n) \Rightarrow \gamma(n+1)$$ el único paso difícil es la prueba de $\beta(n) \Rightarrow \gamma(n+1)$ .
