Qué es cosX-cosY cuando X e Y son variables aleatorias uniformes

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ ser iid uniforme $$X,Y \sim U[-\pi,\pi]$$

Considere lo siguiente $$ U = cos (X)$$ $$V=cos(Y)$$ ¿Cuál es la distribución de $$W=U-V$$

Sé que $$f_{U}(u) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-u^2}}\hspace{1cm} -1 \leq u\leq 1$$ $$f_{V}(v) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-v^2}}\hspace{1cm} -1 \leq v\leq 1$$

Entonces, ¿debería tomar la convolución $$\int_{-1}^{1} f_{U}(w+v) f_{V}(v)dv $$ ¿Es éste el camino correcto? Se agradece cualquier ayuda.

Gracias

Answer 1

Probablemente tendrás más suerte si vas al Transformadas de Fourier de las densidades (utilice integración del contorno ), multiplicándolos, y luego utilizando la transformada inversa de Fourier para obtener la densidad de la diferencia (véase Función característica ).