Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo artiniano con $1 \neq 0$ . Si $I$ es primo, entonces $I$ es máxima.

Question

Demuestra: Que $R$ un anillo conmutativo artiniano con $1 \neq 0$ . Si $I$ es primo, entonces $I$ es máxima.

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Me quedé atascado en esto. Entiendo que todo ideal está generado por un número finito de elementos. Aquí está mi enfoque:

Es suficiente para demostrar la siguiente implicación: $$ R/I \ \text{is a domain} \quad \Rightarrow \quad R/I \ \text{is a field}$$ Entonces sólo queda encontrar una inversa. Así que dejemos que $x \in R$ en arbitrario. Tenemos que encontrar un elemento inverso de $x+I \in R/I$ que como elemento y para que $x \cdot y \in I+1$ . Denotamos $I = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ . Ahora tengo que encontrar y para que $xy -1 = r_1 x_1+ r_2 x_2 + \cdots + r_n x_n$ . Aquí es donde ya no sabía qué hacer.

Su consejo será apreciado.

Answer 1

Tu aclaración en los comentarios diciendo que "toda cadena descendente se estabiliza" es la condición artiniana, no la noetheriana.

Dejemos que $M$ sea un ideal primo de un anillo artiniano $R$ . Entonces $R/M$ es un anillo primo artiniano, pero tales anillos son simples (¡isomorfo a un anillo de matrices sobre un anillo de división!), así que por correspondencia de ideales en $R/M$ con ideales entre $M$ y $R$ , $M$ es necesariamente un ideal máximo.

Tu planteamiento para el caso conmutativo es bueno, y es sólo un caso especial de esto. Dado que $R$ es artiniano, también lo es $R/M$ . Pero $R/M$ es un dominio, y un dominio artiniano es un campo. Por lo tanto, $M$ es máxima.

Demostrar que un dominio artiniano es un campo también es bastante fácil: supongamos que $aR\neq R$ . Al examinar la cadena $aR\supseteq a^2R\supseteq\dots$ podrá mostrar $a=0$ .

Answer 2

Por lo general, no es cierto que todo ideal primo sea maximal en un anillo conmutativo. Tomemos por ejemplo el anillo $\mathbb{Z}[x]$ y el ideal $(2)$ . Es primo, pero no es máximo, por ejemplo $(2)\subset (2,x)\neq\mathbb{Z}[x]$ .

Answer 3

En particular, si se busca un anillo conmutativo en el que todos los ideales primos sean maximales hay que tomar un anillo artiniano. Creo que este es el caso más grande en el que se cumple.