¿Cómo puedo encontrar una falla en esta prueba falsa que $7n = 0$ para todos los números naturales?

Question

Este es mi último problema de los deberes y lo he estado mirando durante un tiempo. No puedo encontrar lo que está mal en esta prueba, aunque es obvio que está mal en base a su conclusión. Aquí está:

Encuentra el fallo en la siguiente prueba falsa por inducción fuerte de que para todo $n \in \Bbb N$ , $7n = 0$ .

Dejemos que $P(n)$ denota la afirmación de que $7n = 0$ .

Caso base: Mostrar $P(0)$ se mantiene.

Desde $7 \cdot 0 = 0$ , $P(0)$ se mantiene.

Paso inductivo: Supongamos que $7·j = 0$ para todos los números naturales $j$ donde $0 \le j \le k$ (hipótesis de inducción). Mostrar $P(k + 1)$ : $7(k + 1) = 0$ .

Escribe $k + 1 = i + j$ , donde $i$ y $j$ son números naturales menores que $k + 1$ . Entonces, utilizando la hipótesis de inducción, obtenemos $7(k + 1) = 7(i + j) = 7i + 7j = 0 + 0 = 0$ . Así que $P(k + 1)$ se mantiene.

Por lo tanto, por inducción fuerte, $P(n)$ es válida para todos los $n \in \Bbb N$ .

Así que el caso base es cierto y me sorprendería que el problema estuviera ahí.

El paso inductivo es probablemente donde está el fallo. Sin embargo, no veo nada malo en la declaración de inducción fuerte y en la hipótesis, ¡y las matemáticas cuadran! Me parece que es tan obvio que me lo estoy saltando a la torera.

Answer 1

El problema está aquí:

Escribe $k + 1 = i + j$ , donde $i$ y $j$ son números naturales menores que $k + 1$ .

Si $k = 0$ entonces usted está tratando de escribir $1 = i+j$ donde $i$ y $j$ son números naturales menores que $1$ . La única opción para $i$ y $j$ es $0$ pero $0+0 \ne 1$ .

Answer 2

Como regla general: Para las pruebas de inducción falsas, encuentre el caso más pequeño en el que la conclusión no se cumple, y luego haga cada paso en detalle con los números correspondientes insertados, de modo que debería probar ese caso exacto. De este modo, casi siempre encontrará rápidamente el problema.

En este caso, el caso más pequeño que falla es $P(1)$ como que reclama $7\cdot 1=0$ lo cual es claramente erróneo. Por lo tanto, el número que hay que mirar es $k+1=1$ Es decir, $k=0$ .

Así que veamos el paso inductivo, e insertemos $k=0$ :

Paso inductivo: Supongamos que $7\cdot j=0$ para todos los números naturales $j$ donde $0\le j\le 0$ (hipótesis de inducción). Mostrar $P(k+1): 7(k+1)=0$ .

El único número con $0\le j\le 0$ es $j=0$ por lo que la hipótesis de inducción es que $7\cdot 0=0$ Lo cual es claramente cierto.

Escribe $0+1=i+j$ , donde $i$ y $j$ son números naturales menores que $k+1$ .

El único número natural menor que $1$ es $0$ . Por lo tanto, tenemos que escribir $0+1 = 0+0$ ¡Uy, eso no está bien! ¡Error encontrado!

Answer 3

En realidad, el problema es en el caso base - en particular, $P(0)$ no es suficiente de un caso base.

El paso inductivo para demostrar $P(n)$ depende de la escritura $n$ como una suma de dos números naturales más pequeños; se puede hacer esto cuando $n \geq 2$ pero no se puede hacer esto cuando $n=1$ .

Si tiene ambos $P(0)$ y $P(1)$ en el caso base, eso es suficiente para que el paso inductivo funcione.

(por supuesto, no se puede probar $P(1)$ , por lo que no puede probar el caso base)

Answer 4

Una pista: $1=1+0\neq 0+0$ . Estudiar $P(1)$ .

Answer 5

Siempre que tengas que comprobar pruebas de inducción, debes aplicar el caso general para demostrar el primer paso de la inducción. En esta situación particular quieres demostrar P(1): $7*1 = 0$ .

Escribe $k+1=i+j$ , donde $i$ y $j$ son números naturales menores que $k+1$ .

En el primer paso, esto significa:

Escribe $1 = i+j$ donde $i,j$ son números naturales menores que $1$ .

Esta afirmación ya muestra dónde está el problema en la prueba de inducción, porque el único número natural menor que 1 es el 0, y el 1 no se puede expresar como $0 + 0$ .