¿Cómo se determina la probabilidad de que ocurra un suceso dado que han ocurrido otros dos sucesos?

Question

Sé que $P(E\,|\,A) = .3$ y que $P(E\,|\,B) = .2$ .

Tengo dos preguntas:

1. ¿Cómo se hace para computar? $P(E\,|\,A \cap B)$ ? (Si la información anterior no es suficiente, ¿qué otra información sería necesaria para calcularla?)
2. Dada la información anterior, ¿cuál es la mejor estimación que puedo hacer para $P(E\,|\,A \cap B)$ ?

Mi investigación:

Si observamos la regla de Bayes, tenemos $$P(E\,|\,A \cap B) = \frac{P(E\ \cap A \cap B)}{P(A \cap B)}.$$

Esa fórmula, por desgracia, no parece tener ninguna relación con las ecuaciones especificadas anteriormente. Es decir, no creo que pueda utilizar $P(E\,|\,A)$ o $P(E\,|\,B)$ para determinar $P(E\,|\,A \cap B)$ . Por lo tanto, mi suposición para la pregunta (1) es que usted necesitaría saber $P(E\ \cap A \cap B)$ y $P(A \cap B)$ y que las ecuaciones son inútiles.

Para la pregunta (2), sin embargo, mi instinto me dice que, dada la información anterior, al menos deberíamos ser capaces de llegar a una estimación de $E$ . Como sabemos que al menos $A$ ocurre, creo que una buena estimación tendría que ser al menos mayor o igual a $.3\,$ . Mi instinto también dice que como sabemos que al menos A ocurre, cuanto más alto $P(E\,|\,B)$ es, más alta debería ser nuestra estimación, pero no estoy seguro de ninguna fórmula exacta para ello.

Así que estoy en conflicto. Una parte de mí dice que no se puede calcular nada, y otra parte de mí dice que podemos calcular una estimación, pero no estoy seguro de cómo.

Se agradecería cualquier aclaración sobre estas dos cuestiones.

Answer 1

No podemos hacer estimaciones para $P(E\,|\,A \cap B)$ salvo que sea trivial: $$ 0\leq P(E\mid A \cap B) \leq 1. $$ Veamos un ejemplo sencillo. Definamos $\Omega=\{1,2,\ldots,20\}$ con eventos elementales igualmente probables: $P(\{i\})=\frac1{20}$ .

Si tomamos $$ A=\{1,\ldots,10\},\quad B=\{10,11,\ldots,19\},\quad E=\{1,2,3,18,19\}, $$ entonces $$P(A)=P(B)=.5, \quad P(A\cap E)=\frac{3}{20}=.15, \quad P(B\cap E)=\frac{2}{20}=.1 $$ y $$ P(E\mid A) = .3, \quad P(E\mid B) = .2. $$ Pero $$P(E\mid A\cap B) = 0.$$ Si tomamos $E=\{8,9,10,11\}$ entonces $P(E\mid A) = .3$ , $P(E\mid B) = .2$ todavía se mantiene, pero $$P(E\mid A\cap B) = 1.$$