Intento demostrar que la función de densidad de la distribución estándar de Cauchy está bien definida: que $$\int_\mathbb{R} \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx=1.$$
He probado el siguiente cálculo: $$\int_{-N}^N \frac{1}{\pi(1+z^2)}dz=\int_{-N}^N\frac{i}{2\pi(z+i)}-\frac{i}{2\pi(z-i)}dz$$$$=\frac{i}{2\pi}\log(z+i)\biggr{|}_{-N}^N-\frac{i}{2\pi}\log(z-i)\biggr{|}_{-N}^N$$$$=\frac{i}{2\pi}(\log(N+i)-\log(-N+i))-\frac{i}{2\pi}(\log(N-i)-\log(-N-i))\to 0$$ como $N\to \infty$ . La primera igualdad se debe a que $$\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}=\frac{-2i}{z+1}.$$ La segunda igualdad se debe a $$\frac{d\log z}{dz}=\frac{1}{z}$$ en una rama de $\log z$ .
Sé que debería conseguir $1$ para $$\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N \frac{1}{\pi(1+z^2)}dz,$$ pero no pude encontrar el error en el cálculo anterior.
¿Dónde he cometido el error? Además, ¿cómo calcular esta integral si no se hace así?
Edición: tras el comentario de Oliver, he descubierto que he calculado mal el límite $$\lim_{N\to\infty} \frac{i}{2\pi}(\log(N+i)-\log(-N+i))-\frac{i}{2\pi}(\log(N-i)-\log(-N-i)).$$ Aquí estoy utilizando la rama principal del logaritmo, donde $\log$ viene dada por $\log z=\log r+i\theta$ . Por lo tanto, el límite debe ser exactamente 1.
